7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Функции называются линейно независимыми в области G, если линейная комбинация этих функций равна нулю

при любом значении только при нулевом наборе чисел

.

В противном случае эти функции называются линейно зависимыми.

Для определения линейной зависимости функций используется определитель Вронского, который имеет вид

.

Теорема 7.3. Решения линейного однородного дифференциального уравнения являются линейно зависимыми в некоторой области G, если для любого значения x из этой области () определитель Вронского тождественно равен нулю , и, наоборот, решения уравнения линейно независимые, если .

Например, покажем, что функции и являющиеся решениями дифференциального уравнения , являются линейно независимые. Найдем для этих функций определитель Вронского

.

Определитель отличен от нуля. Следовательно, функции линейно независимые.

7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению n-ого порядка

соответствует однородное дифференциальное уравнение

.

Пусть линейно независимые функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения .

Покажем, что , где  произвольно заданные постоянные, является общим решением этого уравнения. Для этого необходимо убедиться в том, что при любых начальных условиях можно выбрать произвольные постоянные так, чтобы функция была частным решением дифференциального уравнения с этими начальными условиями.

Пусть начальные условия имеют вид

.

Составим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных .

Эта система является системой линейных алгебраических уравнений.

Определитель данной системы представляет собой определитель Вронского

.

Этот определитель отличен от нуля, так как функции линейно независимые. Решение системы (набор значений произвольных постоянных ) можно получить с помощью формул Крамера. Система имеет единственное решение.

Следовательно, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка можно найти как линейную комбинацию n линейно независимых его частных решений.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е.

,

где  линейно независимые решения однородного уравнения ,

 частное решение неоднородного уравнения .

7.15. Комплексные числа и действия над ними

Для нахождения решения часто встречающихся в практических исследованиях дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо рассмотреть комплексные числа и действия над ними.

Комплексным числом называется выражение вида

,

где  реальная часть z (действительное число),

 мнимая часть z,

 мнимая единица.

Два комплексных числа и равны, если , .

Комплексное число равно нулю, если .

Два числа и называются комплексно-сопряженными.

Рис. 83

Любое комплексное число можно изобразить на так называемой комплексной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат в виде точки или вектора (рис. 83). Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Очевидно . Обозначим через угол, образуемый вектором с осью Оx.

Тогда можно записать

или

Угол называется аргументом комплексного числа. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Сопряженные комплексные числа и имеют равные модули , а . Любое комплексное число можно записать в тригонометрическом виде , т. е.

.

Данный вид записи позволяет облегчить действия над комплексными числами.