3.21. Метод наименьших квадратов (мнк)

При решении экономических задач часто возникает необходимость представления опытных данных в аналитическом виде. Наиболее известным математическим методом для этих целей является метод наименьших квадратов.

Пусть имеются опытные данные в виде таблицы

	. . . . . . .
	. . . . . . .

из двух строк, в первой строке которой находятся значения некоторой переменной, принимаемой за независимую, а во второй соответствующие значения другой переменной, принимаемой за функцию. Требуется найти аналитическую функциональную зависимость .

Наиболее просто найти аналитическую зависимость возможно с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, который в общем виде записывается следующим образом

.

График данной функции проходит совершенно точно через заданные точки (рис. 50).

Рис. 50

В случае, если имеются два точки , , то данная формула позволяет написать уравнение прямой, проходящей через эти точки

.

В случае, если имеются три точки , , , то данная формула позволяет написать уравнение параболы, проходящей через эти точки

.

Если известно n точек, то можно написать уравнение линии, представляющей многочлен (n1)-ой степени относительно х.

Пример 3.25. Написать уравнение параболы, проходящей через точки .

В соответствии с многочленом Лагранжа записываем

, т. е. .

Интерполяционный многочлен Лагранжа позволяет записать уравнение кривой, проходящей через любое число заданных точек. Однако, его удобно использовать при небольшом числе точек. В экономических задачах число точек может быть равным сотням и тысячам. Использование многочленов очень высокого порядка представляет затруднение даже при использовании современных вычислительных устройств. Поэтому при решении экономических задач используют методы аппроксимации.

Аппроксимацией называется нахождение функции заданного вида, обеспечивающей наилучшее приближение к опытным данным.

В методе наименьших квадратов (МНК) качество приближения оценивается по сумме квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от опытных данных i = 1, 2, … (рис. 51), т. е.

.

Рис. 51

Функция, по которой оценивается качество аппроксимации, называется критерием качества.

Аппроксимирующую функцию выбирают в зависимости от характера расположения точек опытных данных. Эта функция обычно имеет несколько неизвестных параметров . Для нахождения этих параметров составляют критерий качества аппроксимации.

В методе наименьших квадратов критерий качества примет вид

.

Для нахождения неизвестных параметров a, b, c, …, обеспечивающих минимальное значение критерию качества, используют необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. Согласно данному признаку в точках экстремума функции нескольких переменных все частные производные либо равны нулю, либо не существуют. Функция данного вида является дифференцируемой, поэтому при оптимальных значениях параметров a, b, c, … все частные производные критерия качества должны равняться нулю, т. е.

В качестве аппроксимирующих функций часто используют функции следующего вида: 1) ; 2) ; 3) .

Составим системы уравнений для нахождения параметров аппроксимирующих функций.

1. В случае, когда критерий качества имеет вид

.

Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения a, b.



2. В случае, когда критерий качества имеет вид

.

Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения коэффициентов a, b, с.



3. В случае, когда аппроксимирующая функция имеет вид , необходимо сначала прологарифмировать эту функцию . Тогда критерий качества

.

Система для нахождения lna и lnb имеет вид



После того, как будут найдены логарифмы lna и lnb нужно найти a и b.

Пример 3.26. Заапроксимировать опытные данные

	2	1	0	1	2
	5	3	1	4	6

многочленом второй степени . На рисунке изобразить опытные данные («жирными точками») и график аппроксимирующей функции. Вычислить значение критерия качества.

Вычисления коэффициентов системы для нахождения коэффициентов a, b, c приведены в таблице.

i
1	2	5	4	8	16	10	20	5,06	0,06	0,0036
2	1	3	1	1	1	3	3	2,57	0,43	0,1849
3	0	1	0	0	0	0	0	1,94	0,94	0,8836
4	1	4	1	1	1	4	4	3,17	0,83	0,6889
5	2	6	4	8	16	12	24	6,86	0,86	0,7396
	0	19	10	0	34	3	51			2,5006

Составляем систему для нахождения коэффициентов a, b, c и решаем ее.

Аппроксимирующая функция .

Рис. 52

Опытные данные в виде точек и график аппроксимирующей функции приведены на рис. 52.