2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)

Теорема 2.6. Если в окрестности критической точки функция является непрерывной, а так же дифференцируемой в этой окрестности, за исключением быть может самой точки, и при переходе х через производная изменяет знак, то является точкой локального экстремума; причем, если знак изменяется с «+» на «», то  точка максимума, если знак изменяется с «» на «+», то  точка минимума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в -окрестности критической точки знак изменяется с «+» на «». Тогда по достаточному признаку монотонности функции на интервале функция возрастает, а на интервале функция убывает, т. е. является точкой локального максимума. Аналогично для случая изменения знака производной функции с «» на «+», функция на интервале убывает, а на интервале возрастает и точка является точкой минимума.

2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)

Теорема 2.7. Если функция является непрерывной и дважды дифференцируемой в окрестности точки , производная функции в этой точке равна нулю , а производная второго порядка отлична от нуля , то является точкой локального экстремума функции; причем, если , то имеет место минимум, а если  максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в точке , (рис.34).

Так как является производной от производной , то она определяет характер изменения функции . По предположению . Так как непрерывная функция, то она больше нуля не только в точке , но и в некоторой окрестности этой точки .

Рис. 34

Так как , то по признаку монотонности функции является возрастающей функцией. Функция возрастающая, а в точке , поэтому на интервале она является отрицательной, а на интервале  положительной.

По первому достаточному признаку экстремума в этом случае в точке имеет место минимум.

Аналогично можно показать, что если , то является точкой максимума.

Пример 2.21. Исследовать на экстремум функцию .

Рис.35

Найдем , . при х = 0. . Следовательно, х = 0 является точкой минимума (рис. 35).

2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба

Рис. 36

График функции называется выпуклым (вогнутым) вверх на некотором интервале, если он находится ниже (выше) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 36).

2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции

Теорема 2.8. Если функция является непрерывной и дважды дифференцируемой на интервале и производная второго порядка в любой точке этого интервала положительная (отрицательная ), то график функции является вогнутым (выпуклым)

на этом интервале.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть касательная к графику функции , проведенная в произвольно выбранной на интервале точке (рис. 37).

Рис. 37

О характере выпуклости (вогнутости) графика функции будем судить по разности MN ординат графиков функции и касательной в точке х. Используем разложение функции в окрестности точки по формуле Тейлора (достаточно учесть два слагаемых и остаточный член)

, где .

Запишем

.

Отсюда следует, что если , то MN > 0 и на интервале график вогнутый. Если же , то MN < 0 и график функции выпуклый.

Запоминают следующим образом. Если («+»), то график функции вогнутый (вода  производная второго порядка держится на кривой) (рис. 37а). Если («»), то график функции выпуклый (вода  производная второго порядка скатывается с кривой) (рис. 37а).

Рис. 37а

Рис. 37б