2.2.5. Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n 1)-го порядка, полученный в предположении, что дифференциал независимой переменной постоянный, т. е.
.
Находим
,
.
Очевидно,
.
Из последнего
равенства можно записать
.
Пример 2.9. Найти
дифференциал второго порядка функции
.
Находим:
,
.
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
2.3.1. Теорема Ролля
Теорема Ролля.
Если функция
y
= f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b],
дифференцируемая в каждой его внутренней
точке и принимает равные значения в
граничных точках отрезка, то найдётся
такая внутренняя точка отрезка х=
с,
в которой производная функции равна
нулю
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция y = f(x) по условию теоремы непрерывная, то она достигает на отрезке [a, b] наибольшего М и наименьшего m значений, т. е.
;
.
Рассмотрим два возможных случая.
1. M
= m.
Если наибольшее М
и наименьшее m
значения
функции совпадают, то она является
постоянной y
= f(x)
= const
и её производная равна нулю в любой
внутренней точке этого отрезка, т. е.
.
2. M
m.
Тогда y
= f(x)
не является постоянной и не может
одновременно достигать наибольшего и
наименьшего своих значений в граничных
точках отрезка [a,
b]
. Пусть она достигает наибольшего
значения в некоторой внутренней точке
х =
с,
т. е. f(c)=
M.
В этом случае
и приращение функции в этой точке
.
Найдем односторонние пределы функции
в этой точке
,
так как
,
.
,
так как
,
.
Функция y
= f(x)
дифференцируемая в каждой внутренней
точке, в том числе и при х
= с.
Следовательно, производная функции в
этой точке равна нулю
.
2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
|
Рис. 23
|
Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке [a, b] и гладкий (не имеет точек излома) на интервале (a, b) и ординаты графика функции в граничных точках отрезка равные f(а)= f(b), то найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 23).
|
2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
Рассмотрим три функции.
1. Функция
является непрерывной на отрезке [1;
1] и принимает равные значения в граничных
точках
.
Однако функция не имеет производной в
точке х
= 0, так как при х
> 0
,
а при х
< 0
.
Нарушение условия дифференцируемости
функции только в одной внутренней точке
отрезка приводит в данном случае к
отсутствию точки, в которой производная
функции равна нулю, а касательная к
графику горизонтальна (рис. 24).
2. Функция
принимает равные значения в граничных
точках рассматриваемого отрезка
,
является дифференцируемой в каждой
внутренней точке отрезка [0; 1], но имеет
одну точку разрыва при х
= 1. В результате этого в данном случае
отсутствует точка, в которой производная
функции равна нулю, а касательная к
графику горизонтальна (рис. 25).
|
Рис. 24 |
Рис. 25 |
Рис. 26 |
3. Функция
на
отрезке [1;
1] удовлетворяет всем требованиям теоремы
Ролля. Функция является непрерывной на
отрезке [1;
1], принимает равные значения в граничных
точках отрезка
и ее производная
существует в каждой внутренней точке
отрезка. В граничных точках отрезка
производная не существует (бесконечная).
В теореме Ролля не требуется
дифференцируемости функции в граничных
точках отрезка. Всего этого достаточно,
чтобы существовала внутренняя точка
отрезка х
= 0, в которой производная равна нулю, а
касательная параллельна оси Ох
(рис. 26).