2.2. Дифференциал функции одной переменной

2.2.1. Определение дифференциала функции

Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, т. е. она имеет конечную производную. Тогда на основании теоремы 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции можно записать

,

где бесконечно малая функция по сравнению с x, т. е. .

Обозначим через произведение бесконечно малых функций и x. Следовательно, является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с x, . Запишем

.

Обозначают первое слагаемое в этой сумме через dy, т. е. , и называют дифференциалом функции y = f(x).

Если функция y = x, то . Это значит, что дифференциал dx и приращение x независимой переменной совпадают dx = x.

Тогда дифференциал функции имеет вид

или ,

а приращение функции равняется

.

Из равенства следует, что производная функции равняется

.

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке при бесконечно малом приращении независимой переменной x называется бесконечно малая функция dy прямо пропорциональная x и отличающаяся от приращения функции y на бесконечно малую функцию (x) более высокого порядка малости по сравнению с x.

Так как , где , то дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.

2.2.2. Геометрический смысл дифференциала

Как показано выше, для приращения функции y и ее дифференциала справедливо приближенное равенство , где   угол наклона касательной к оси Ох. Дифференциал функции dy и ее приращение y изображены на рис. 21, рис. 22.

Рис. 21

Рис. 22

Дифференциал функции y = f(x) в точке при приращении независимой переменной x равен приращению ординаты касательной () к графику функции в этой точке.

В зависимости от характера изменения функции дифференциал может быть больше (рис.21) или меньше (рис.22) приращения функции y.

2.2.3. Свойства дифференциала

Пусть u = u (x), v = v(x) дифференцируемые функции.

1. .

2. .

3. .

4. Вид дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или в свою очередь является дифференцируемой функцией другой переменной.

Действительно, если , то .

Если , , то .

2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений

1. Вычисление приближенного значения функции или ее приращения.

Пусть дифференцируемая функция в окрестности точки. Тогда при бесконечно малом приращении х с точностью до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с х можно считать, что приращение функцииравняется ее дифференциалу , т. е. . Данное приближенное равенство используют для вычисления приращений функций и ее значений по формулам

,

.

При вычислениях по данным формулам точность не гарантируется. Все зависит от вида функции, величины независимой переменной и ее приращения, так как в данном случае любая функция заменяется линейной функцией (касательной к графику этой функции).

Пример 2.7. Вычислить значение , используя дифференциал.

Данный корень является значением функции при х = 10. Находим точку = 8, которая является наиболее близкой к х = 10 и в которой значение данной функции известно. Вычисляем величину приращения независимой переменной х = х  = 10  8 = 2. Находим производную функции и ее значение в точке

= 8, . Вычисляем .

2. Дифференциал может быть применен для оценки погрешности вычисления функции.

Из приближенного равенства можем записать . Обозначив  абсолютную предельную погрешность функции,  абсолютную предельную погрешность независимой переменной, получим

.

Приближенное равенство поделим на значение функции , получим . Обозначив  относительную предельную погрешность функции, получим формулу для ее вычисления

.

Пример 2.8. Пусть приближенное значение длины ребра некоторого куба равно 10 м. Определить допустимую абсолютную предельную погрешность измерения длины ребра куба , при которой вычисление объема куба по формуле относительная предельная погрешность не превзойдет 1% (=0,01).

Находим: , = 10, , , . По формуле получаем . Отсюда м., т.е. 3,3 см.