2.5.11. Построение графика функции
Будем использовать следующую общую схему исследования функции и построения графика.
1. Найти область определения функции.
2. Определить общий
вид функции. Если
,
то функция четная; если
функция нечетная; если
периодическая (а
– период); иначе будем функцию называть
общего вида (ФОВ).
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Найти вертикальные и наклонные асимптоты.
5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции (исследование с помощью первой производной).
6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба (исследование с помощью производной второго порядка).
7. Построить график.
Пример
2.24.
Исследовать и построить график функции
.
1. Область определения
функции
.
2. Находим
.
Функция нечетная.
3. Асимптоты графика функции найдены в предыдущем примере;
х =
2
и х =
+2 – вертикальные асимптоты;
наклонная асимптота.
4. Найдем точки пересечения с осями координат. Единственная точка O(0, 0) начало координат.
5. Найдем производную функции
.
Находим критические
точки
.
Определяем интервалы монотонности и экстремумы функции (рис. 43).
Рис. 43
На числовую ось
нанесем критические точки
и точки разрыва функции
,
которые разобьют эту прямую на интервалы
монотонности. Чтобы не ошибиться при
определении знака производной в
интервалах, точки, в которых производная
не изменяет знак, отметим значком
«кавычка». Знаки производной в интервалах
отметим знаком «+» или «».
Характер монотонности функции на
интервалах отметим стрелками. Если в
критической точке функция непрерывна
и характер монотонности изменяется, то
точка является точкой экстремума. Для
рассматриваемой функции точка
является точкой максимума, а точка
-
точкой минимума. Значение функции в
точках максимума и минимума равняется
,
.
6. Найдем производную функции второго порядка
.
Находим критические точки для второй производной.
только при х
= 0.
Наносим на числовую прямую критическую точку х = 0 и точки разрыва производной второго порядка (рис. 44).
Рис. 44
Определяем знаки
второй производной в получившихся
интервалах. Знаку «+» соответствует
вогнутость, а знаку «»
выпуклость графика функции. В точке х
= 0 график функции имеет точку перегиба,
так как функция непрерывная в этой
точке, а характер кривой изменяется с
вогнутости на выпуклость. Функция в
этой точке равна нулю
.
7. Изображаем график функции (рис. 45). Строим систему координат Oxy, асимптоты, точки максимума, минимума и точку перегиба.
Рис. 45