2.6. Ограниченность.

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х, если существует такое положительное число М>0, что

|f(x)| £ М для любого хÎХ,

Краткая запись: ($М >0) ("хÎХ) [|f(x)|M] .

Или

($а, bÎR) ("хÎХ) [а£f(x)£ b]

В противном случае функция называется неограниченной.

Если функция ограничена на некотором промежутке, то график ее в пределах этого интервала расположен в полосе, ограниченной прямыми у=а и у=b (рис. 13).

Пример. Функция у= sin x ограничена на всей числовой оси, т.к.

("хÎR) [|sin x|£1 ].

2.7. Обратная функция и ее график.

Пусть у=f(х) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений У. Поставим в соответствие каждому уÎУ единственное значение хÎХ, при котором f(х)=у. Тогда полученная функция х=(у)=f(y), определенная на множестве У с областью значений Х, называется обратной.

Чтобы найти функцию х=(у), обратную к функции у=f(x), достаточно решить уравнение f(x)=y относительно х (если это возможно).

Если сохранить обычные обозначения, т.е. если во всех случаях х считать аргументом и у – функцией, то получим, что функция у=(х) является обратной по отношению к функции у=f(х).

График обратной функции у=(х) симметричен относительно прямой у=х.

Примеры взаимообратных функций:

у = а и у = logх;
у = 2х и у=;

3) Для функции у=х, х Î [0;1], обратной является х=; заметим, что для функции у=х,заданной на отрезке [−1;1], обратной не существует, т.к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1, то х₁=1, х₂=−1).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=f(х) имеет обратную, тогда и только тогда, когда функция у=f(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами Х и У. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

2.8. Сложная функция.

Если у является функцией от переменной u, а переменная u в свою очередь является функцией от переменной х, т.е. у=f(u) и u=j(x), то функция у=f[j(x)] называется функцией от функции или сложной функцией (или суперпозицией заданных функций).

Переменная u в этом случае называется промежуточной переменной.

Примеры.

Функция у=lg(x+5x) есть сложная функция, т.к. эту функцию можно представить так: у=lg u, где u=x+5x.
Функция у=sin(2x+1) есть сложная функция; ее можно представить так: у=sin u, где u=2x+1.

Замечание. Сложная функция может иметь несколько промежуточных переменных. Например, сложная функция у= имеет две промежуточные переменные: у=2^t; где t=cos u; u=x.