Свойства функции.

2.2. Область существования и область значения функции.

Определение. Областью существования (или областью определения) функции y=f(x) называется совокупность всех действительных значений аргумента х, для которых функция у определена, то есть существует и выражается действительным числом.

Совокупность всех значений, которые принимает при этом сама функция у, называется областью значений (или областью изменения) этой функции.

Упражнения. Найти область определения функции:

1. у=;

2. ;

3. у=lg(x − 5x+6).

2.3. Четность и нечетность.

Определение. Функция у=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f(−x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 9).

Определение. Функция у=f(x) называется нечетной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f(−x)=−f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 10).

Если ни одно из вышеуказанных условий не выполняется (т.е f(−x)¹−f(x) и f(−x)¹f(x)), то функция y = f(x) называется функцией общего вида.

Например, функция у=х⁶ является четной т.к f(−x)=(−x)⁶=x⁶=f(x), т.е. выполняется условие четности функции: f(−x)=−f(x).

Функция у=х− нечетная; у=х+х−5 – произвольного вида (показать это самостоятельно).

2.4. Периодичность.

Определение. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т¹0, если для любых х из области определения справедливо равенство:

f(x+T) = f(x).

Замечание. Если число Т есть период функции у=f(x), заданной на всей числовой прямой, то число nT, где n Î Z, также является периодом функции. В этом случае наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом функции. Говоря о периоде функции, обычно имеют в виду наименьший положительный период.

Например, функция у=sin x имеет период Т=2π, т.к. "хÎDf sin (x+2π )=sin x.

2.5. Монотонность.

Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при х₁<x₂ имеет место неравенство: f(x₁)<f(x₂), т.е.

("x, xÎDf) [x>xf(x)>f(x)]

Определение. Функция у=f(x) называется убывающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при х<x имеет место неравенство: f(x)>f(x), т.е.

("x, xÎDf) [x>xf(x)<f(x)]

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Функция y=f(x) называется кусочно-монотонной на некотором интервале, если его можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция изменяется монотонно, т.е. функция или возрастает, или убывает.

Примеры:

1. Функция y=kx+b является монотонно возрастающей при k>0 и монотонно убывающей при k<0.

2. Функция y=a является монотонно возрастающей, когда а>1 и монотонно убывающей, когда а<1.

3. Функция y=x монотонно убывает на промежутке (−; 0) и монотонно возрастает на промежутке (0; +).