3. Игровая модель прогнозирования сбыта продукции конкурирующих фирм.

В производственной деятельности очень часто разные фирмы производят различные виды продукции, принадлежащие одной номенклатурной группе, например, различные марки телевизоров, телефонов, фотоаппаратов, игрушек и т.д.

Предположим, мы рассматриваем две фирмы, которые конкурируют друг с другом в производстве различных видов продукции: первая фирма может производить продукцию вида , i=1,…,n, вторая – продукцию вида , j=1,…,n. Маркетологи установили, что спрос рынка на продукцию этой группы составляет N единиц, причем найдется сбыт товаров вида и товаров вида , Принимая доход от продажи единицы товара равным единице, а полезность игрока I (первая фирма) – равной его доходу, матрицу выигрыша H игрока I можно записать в следующем виде:

В принятых обозначениях: - вероятность сбыта продукции в ситуации (ij). Ситуация (ij) показывает вероятность сбыта продукции вида i в сравнении с продукцией j.

Аналогичным образом записывается матрица выигрышей игрока II, элемент (ij) которой равен . Так как в любой ситуации сумма доходов игроков равна одному и тому же значению , то увеличение выигрыша игрока I эквивалентно уменьшению выигрыша игрока II, т.е. интересы игроков противоположны. Следовательно, игра заданная матрицей H моделирует рассматриваемый конфликт.

Покажем реализацию игры на конкретной численном примере. Допустим, что прогнозируемая доля сбыта продукции фирмы I представлена в табл. 5.2

Таблица 5.2

Прогнозируемая доля сбыта продукции фирмы I

Продукция фирмы I	Продукция фирмы II
	0,5	0,5	0,4	0,5	0,2
	0,5	0,4	0,7	0,1	0,6
	0,2	0,3	0,4	0,1	0,7
	0,3	0,6	0,7	0,3	0,2
	0,4	0,4	0,3	0	0,2

Ожидается, что будет реализовано 1000 шт. изделий. Требуется определить виды изделий, выпускаемых каждой фирмой. Матрица выигрышей игрока I будет иметь вид:

Заметим, что достаточно решить игру , где . В матричной форме игра определяется матрицей

Исследуем эту матрицу на доминирование строк и столбцов.

Легко установить, что элементы пятой строки матрицы не больше соответствующих элементов первой строки, следовательно, первая стратегия игрока I доминируют пятую. Кроме того, элементы первого и второго столбцов не меньше соответствующих элементов четвертого столбца, следовательно, четвертая стратегия игрока II доминирует его первую и вторую стратегию. После исключения из рассмотрения пятой строки и первого и второго столбцов имеем новую матрицу игры:

Исследуем матрицу на доминирование строк и столбцов. Анализ матрицы показывает, что третья стратегия игрока II доминируется смешанной стратегией, которая с вероятностями 3/5 и 2/5 использует соответственно четвертую и пятую стратегии. После исключения из рассмотрения третьего столбца имеем новую матрицу игры:

.

Из анализа матрицы легко установить, что элементы второй строки не больше соответствующих элементов третьей строки, а элементы четверной строки – элементов первой строки. Поэтому первая и третья стратегии игрока I доминируют соответственно четвертую и вторую его стратегии. После исключения из рассмотрения второй и четверной строк имеем новую матрицу игры

Матрица не имеет седловой точки, следовательно, оптимальные стратегии игроков являются смешанными.

Реализация игры не представляет никаких трудностей. После ее реализации получим:

.

С учетом доминирования строк и столбцов для первоначальной матрицы Н

-цена игры

-стратегия фирмы I

- стратегия фирмы II

В содержательной терминологии это означает, что фирма I выбирает выпуск изделий и с вероятностями, равными соответственно 2/3 и 1/3, а фирма II – выпуск изделий , с вероятностями соответственно 5/9 и 4/9. При этом математическое ожидание числа реализованных изделий фирмами составит соответственно 1100/3 и 1900/3.