4.2. Отображение чисел в разрядной сетке эвм.

4.2.1. Представление цифровой информации

В ЭВМ обычно используются три вида чисел:

• с фиксированной точкой (запятой);

• с плавающей точкой (запятой);

• двоично-десятичное представление.

Числа с фиксированной точкой (ФТ). В ячейке для хранения числа с ФТ один разряд используется в качестве знакового, в нем записывается в закодированной форме знак числа: 0 – в случае положительного, 1 – в случае отрицательного числа. Остальные разряды используются для хранения модуля числа. Точка, отделяющая целую часть числа от ее дробной части, занимает фиксированное положение: часто перед старшим разрядом либо после младшего разряда.

Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю (абсолютное значение) меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством

0  |A₂|  1 – 2 ^-n.

Например, число – 0,101101₍₂₎ следующим образом разместится в элементах запоминающей десятиразрядной ячейки:

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

знаковый разряд разряды модуля числа

Свободные младшие разряды заполняются нулями.

Так как в этом случае предусматривается хранение лишь дробной части числа, то не только исходные данные, но и результаты всех проведенных над ними операций должны быть числами, абсолютное значение которых меньше единицы. Выполнение этого условия обеспечивается выбором определенных масштабных коэффициентов, на которые умножаются исходные данные задачи. Неправильный выбор коэффициентов может выбрать так называемое переполнение разрядной сетки. – возникновение ошибки, если в результате выполнения операции в числе образуется целая часть, для хранения которой в разрядной сетке не предусмотрено места, и она теряется.

Необходимость в масштабировании данных составляет один из недостатков представления чисел в форме с ФТ; другой недостаток этой формы – низкая точность представления чисел, абсолютное значение которых мало (нули в старших разрядах приводят к уменьшению числа разрядов, занимаемых значащей частью числа и к снижению точности представления числа).

Если точка фиксируется после последней значащей цифры, то это озна­чает, что п- разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон измене­ния их значений составляет

0  |A₂|  2^-n - 1.

Например, число 11011₍₂₎ следующим образом разместится в элементах десятиразрядной запоминающей ячейки:

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

знаковый разряд разряды модуля числа

Здесь свободные старшие разряды заполняются нулями.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Форма с плавающей точкой (ПТ) предусматривает представление числа в показательной форме. Числа с ПТ представля­ются в виде мантиссы т_a и порядка р_a , иногда это представление называют полулогарифмической формой числа.

Например, десятичное число 685,73₍₁₀₎ представляется в форме 0,68573х10³; здесь 0,68573 – мантисса, 10 - основание десятичной системы счисления, 3 – порядок. Двоичное число 0,000101101₍₂₎ представляется в виде 0,101101х10^(-11); здесь 0,101101₍₂₎ – мантисса, 10₍₂₎ – основание двоичной системы счисления, -11₍₂₎ – порядок.

В ячейке памяти такие числа хранятся в виде двух групп цифр: первая группа, называемая мантиссой, определяет само число, вторая группа, называемая порядком, - место точки в числе.

Приведенное выше двоичное число может иметь следующее размещение в элементах запоминающей ячейки:

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

Зн. р-д числа Р-ды мантиссы Зн. р-д порядка р-ды модуля порядка

Для двоич­ных чисел А₂ в этом представлении также формируется т_a и порядок р_a при основании системы счисления равным двум.

A₂ = ±m_{a ;} ± p_a ,

что соответствует записи

A₂ = (m_a)  2^Pa

Порядок числа р_a определяет положение точки (запятой) в двоичном чис­ле. Значение порядка лежит в диапазоне

- p_a^max  p_a  p_a^max ,

где величина p_a^max определяется числом разрядов r, отведенных для представления порядка

p_a^max = 2^r – 1.

Положительные и отрицательные значения порядка значительно услож­няют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных ЭВМ используют не прямое значение p_a, а модифицированное p^’_a , приведенное к интервалу

0  р^’_a  2 p_a^max

Значение р^’_a носит название «характеристика числа». Обычно под порядок (модифицированный порядок - характеристику) выделяют один байт. Старший разряд характеристики отводится под знак числа, а семь оставшихся разрядов обеспечивают изменение порядка в диа­пазоне

-64  p_a  63

Модифицированный порядок р^’_a вычисляется по зависимости

р^’_a = p_a+ 64

Этим самым значения р^’_a формируются в диапазоне положительных чисел 0  р^’_a  127

Мантисса числа m_a представляется двоичным числом, у которого точка фиксируется перед старшим разрядом, т. е.

0  m_a  1 – 2^-k

где k - число разрядов, отведенных для представления мантиссы.

Если

1/N  m_a  1 – 2^-k

то старший значащий разряд мантиссы в системе счисления с основанием N отличен от нуля. При этом образуется так называемая нормальная форма, т.е. число нормализовано. Например, А₂= (100;0.101101)₂ - нормализованное число А₂ = 1011.01 или А₁₀= 11.25, а то же самое число А₂ = (101;0.0101101)- число ненормализованное, так как старший разряд мантиссы равен нулю.

Диапазон представления нормализованных чисел с плавающей точкой определяется

_{r r}

2 ^-1  2 ^{- (2 - 1)}  A₂  (1 – 2^-k)  2 ^{(2 - 1)}

где r- и k - соответственно количество разрядов, используемых для представления порядка и мантиссы.

Определим диапазон двоичных чисел, которые могут быть представлены в ячейке в нормальной форме. Обозначим через r – число разрядов, отведенных для хранения абсолютного значения порядка. Положительное число будет иметь в ячейке наименьшее значение, если минимальное значение будет иметь мантисса ( все ее k разрядов, кроме старшего, будут содержать нуль: 0,100…0₂), а порядок будет иметь отрицательный знак и максимальное абсолютное значение (т.е. все разряды модуля порядка будут содержать единицу: 11…1₂=(2^r - 1). Таким образом, значение минимального положительного числа в нормальной форме

_{r r}

N min = 0.5  2 ^{- (2 - 1)} = 2 ^-2

Максимальное число образуется в ячейке при максимальном значении мантиссы 0,111…111₂ (близкое к единице при значительном количестве разрядов мантиссы) и положительном порядке, имеющем максимальное значение (111..11₂ = 2^r-1). Таким образом, максимальное значение числа

_r

N max = (1- 2^-k)  2 ^{(2 -1)}.

Итак, диапазон представляемых чисел в нормальной форме равен

_{r r}

N min … N max = 2^-2 … (1- 2^-k)  2^{2 -1}.

В случае большой разрядности мантиссы ее максимальное значение можно считать равным единице и тогда диапазон определяется лишь r т.е.

_{r r}

N min … N max = 2^-2 … 2^{2 -1}.

Пусть r=6, тогда

N min … N max »10^-19 … 10¹⁹.

Если диапазон представимых чисел, как показано выше, определяется числом разрядов, отведенных в ячейке памяти для хранения порядка, то точность представления чисел определяется числом разрядов, выделенных для хранения мантиссы.

Обозначим k – количество разрядов, отводимых под мантиссу. Если количество разрядов в мантиссе больше k, то в ячейку памяти заносятся k старших разрядов мантиссы числа; младшие ее разряды отбрасываются и может производиться округление сохраняемой части мантиссы. Округление мантиссы чисел в двоичной системе счисления выполняется по следующему правилу: если старший из отбрасываемых разрядов мантиссы содержит единицу, то к младшему разряду сохраняемой части мантиссы прибавляется единица.

При таком округлении абсолютная погрешность x представления мантиссы не превышает половины весового коэффициента младшего из сохраняемых разрядов мантиссы:

x£ 0.52^-k.

Относительная погрешность

δ= [x/(A/Amax)]100%

где А-двоичное число.

Например, при к=4, для числа А=0,1111 относительная погрешность составит

δmin=[0.52^-4 /(15/16)]100% =3,4%

δmax=[0.52^-4 /(1/16)]100% =50%.

Нормальная форма позволяет получать представление чисел в широком диапазоне с одинаковой относительной погрешностью. Использование формы с плавающей точкой позволяет часто обходиться без масштабирования данных. В тех же случаях, когда оно требуется, выбор масштабных коэффициентов не представляет трудностей. Однако выполнение операций над числами с плавающей точкой сложнее, чем над числами с ФТ.

Третья форма представления двоичных чисел - двоично-десятичная. Ее появление объясняется следующим. При обработке больших массивов десятич­ных чисел (например, больших экономических документов) приходится тратить существенное время на перевод этих чисел из десятичной системы счисления в двоичную для последующей обработки и обратно -для вывода результатов. Каж­дый такой перевод требует выполнения двух - четырех десятков машинных ко­манд. С включением в состав отдельных ЭВМ специальных функциональных блоков или спецпроцессоров десятичной арифметики появляется возможность обрабатывать десятичные числа напрямую, без их преобразования, что сокра­щает время вычислений. При этом каждая цифра десятичного числа представ­ляется двоичной тетрадой. Например, А₁₀=3759, A_2-10 = 0011 0111 0101 1001. Положение десятичной точки (запятой), отделяющей целую часть от дробной, обычно заранее фиксируется. Значение знака числа отмечается кодом, отличным от кодов цифр. Например, «+» имеет значение тетрады «1100», а «-» - «1101».