8. Граничні умови

Рівняння Максвела дозволяють знаходити поле в будь-який момент часу, як для будь-якої точки області , обмеженою поверхнею («внутрішня» задача електродинаміки), так і для будь-якої точки поза цієї області («зовнішня» задача електродинаміки). Однак для рішення цих рівнянь необхідні додаткові умови, що дозволять визначити постійні інтегрування. До таких умов відносяться умови на межах різнорідних серед - граничні умови.

Гранична умова для нормальних складових вектору магнітної індукції визначається інтегральним рівнянням:

Розглянемо циліндр, що перетинає поверхню розділу двох серед (рис.9), висота якого .

Рис. 9

Магнітні поля на верхній і нижній підставах циліндра, зважаючи на їхню малість, рахуємо однорідними, а потік крізь бічну поверхню циліндра - рівним нулю (бо висота циліндра прагне до нуля). Тоді потік, вхідний в площину , розташовану на поверхні розділу, з боку першої середи, повинен бути рівним потоку, що виходить з неї в сторону другої середи. При цьому

Отже, нормальні складові вектору магнітної індукції на межі двох серед безперервні, а нормальні складові вектору напруженості магнітного поля зазнають стрибка.

Гранична умова для нормальних складових вектору електричної індукції визначається аналогічно попередньому за допомогою рівняння:

В межі згідно цьому рівнянню, різність між потоком, що виходить з площини в сторону другої середи, і потоком, вхідним в нього з боку першої середи, дорівнює розподіленому на цьому майданчикові заряду , де - поверхнева щільність заряду [к/м²], розподіленого на площині . Остаточно маємо:

(1.37)

Тобто за наявності поверхневих зарядів нормальні складові вектору електричної індукції на межі двох серед зазнають розрив.

Якщо ж поверхневі заряди будуть відсутні, то

Тобто нормальні складові вектора електричної індукції безперервні, а нормальні складові вектора напруженості електричного поля зазнають стрибка.

Граничні умови для тангенціальних складових вектора будемо мати з рівняння

Розглянемо контур, розташований частиною в одній середі, частиною в інший (рис.10).

Рис. 10

Рахуємо контур малим і вважаємо, що електричне поле на окремих його ділянках однорідне. В межі при і права частина рівняння буде дорівнювати нулю. В результаті цього . Отже,

При цьому

тобто на межі розділу двох серед тангенціальні складові вектору напруженості електричного поля безперервні, а тангенціальні складові вектору електричної індукції зазнають стрибка.

Гранична умова для тангенціальних складових напруженості магнітного поля визначається рівнянням

Аналогічно попередньому випадку, в межі при

де - поверхнева щільність струму [а/м], яка дорівнює величині струму, що протікає в нескінченно тонкому шарі через одиницю довжини лінії, перпендикулярній напрямку струму. Таким чином, тангенціальні складові вектору напруженості магнітного поля на межі двох серед зазнають розриву, величина якого дорівнює поверхневій щільності струму в тонкому шарі. Хоч такий струм є абстракцією (може мати місце лише на поверхні середи, що ідеально проводить), однак введення його набуває фізичного змісту при високочастотному полі. При цьому в середі, що добре проводить, струм тече тільки в дуже тонкому поверхневому шарі, в межах якого відбувається стрибок вектору , і за яким поле практичне буде відсутнє.

Якщо поверхневий струм буде відсутній, то

тобто за відсутності струму на поверхні розділу двох серед тангенціальні складові напруженості магнітного поля безперервні, а тангенціальні складові вектору магнітної індукції зазнають стрибка.

Граничні умови для вектору щільності струму отримаємо з умови безперервності тангенціальних складових напруженості електричного поля . З урахуванням виразу (1.18)

Умова для нормальних складових знайдемо з виразу (1.21), враховуючи, що. Аналогічно знаходженню граничних умов для нормальних складових і , отримаємо:

З урахуванням виразу (1.37)

При або в випадку стаціонарного поля

Таким чином, тангенціальні складові струму на поверхні розділу зазнають стрибка, а його нормальні складові за відсутності поверхневих зарядів або в випадку стаціонарного поля безперервні.