Рівняння Максвела в комплексній формі записи

Якщо проекції векторів поля і змінюються в часі по синусоїдальному закону, причому фази всіх трьох прямокутних проекцій однакові, тобто хвиля лінійно поляризована, то рівняння Максвела можна записати в комплексній формі. Нехай вектор напруженості електричного поля має проекції:

Комплексною амплітудою вектору назвемо вектор

Миттєве значення вектору .

Аналогічно можна записати комплексну амплітуду напруженості магнітного поля

І миттєве значення

Якщо в рівняння Максвела підставити замість і величини і , то отримане рішення буде більш загальним, бо воно буде справедливо не тільки для введених в рівняння фіктивних величин, але і для дійсних. При цьому запис рівнянь значно спроститься, бо скоротиться.

Розглянемо перше рівняння Максвела

Підставивши замість величину (фіктивна частина якої рівна ), а замість величину , отримаємо

Після скорочення на ми отримаємо перше рівняння Максвела в комплексній формі запису

Аналогічно можна отримати і інші рівняння електромагнітного поля в комплексній формі запису.

Друге рівняння Максвела

А також

Вирішивши ці рівняння і визначивши комплексні амплітуди і , легко знайти миттєві значення векторів поля з співвідношень:

Якщо вектори поля міняються в часі по косинусоїдальному закону, то в цьому випадку

Вигода комплексної форми запису основних рівнянь поля полягає в тому, що час t виключається з цих рівнянь.

Повна система рівнянь електромагнітного поля

Отже, ми маємо наступну систему диференційних рівнянь електромагнітного поля, що дадуть просторово - тимчасовий опис електромагнітного процесу:

Електромагнітне поле визначається чотирма векторами: .

Для серед з постійною проникливістю ці вектори зв'язані співвідношеннями:

Тому при розрахунку достатньо визначити тільки два вектору.

Звичайно визначають вектори і з рівнянь Максвела

;

Однак для однозначності визначення і цих рівнянь недостатньо, вектор по заданому ротору однозначно не визначається, тому слід задати ще і дивергенцію векторів і . З теореми Гауса в диференційній формі

При постійному значенні ,

Основна якість магнітного поля - його соленоїдальність () дозволить визначити дивергенцію вектору . При постійному значенні

Отже, повна система рівнянь електромагнітного поля для серед з постійними параметрами

Запишеться наступним чином:

;

;

Ці рівняння подають собою основні рівняння електромагнітного поля для нерухомих серед.

При рішенні конкретних задач повинні бути враховані початкові і граничні умови Наприклад, в момент t=0 повинні бути задані значення векторів і в усіх точках об’єму V, в якому досліджується поле; крім того, повинні бути відомі значення цих векторів на граничній поверхні S на протязі усього проміжку часу від 0 до t.

Фізичний зміст основних рівнянь електромагнітного поля полягає в тому, що магнітне поле завжди вихрове і збуджується воно як зарядами, що рухаються, так і електричним полем, що змінюється в часі. Електричне поле може бути вихровим, в цьому випадку воно збуджується магнітним полем, що змінюється в часі і безвихровим (якщо воно збуджується постійними в часі електричними зарядами).

Електричне і магнітне поле взаємозв’язані, вони подають собою різні вияви єдиного електромагнітного поля, що знаходиться в русі і несе з собою запас енергії: