14.2. Магнітностатичне поле

Магнітностатичне поле описується наступними рівняннями:

Це поле існує в просторі біля постійного магніту, соленоїда з витками, коли електричні силові лінії в навколишньому просторі практично не виявляються, і біля соленоїда, приведеного в зверхпровідний стан.

Оскільки структура рівнянь магнітостатичного поля однакова зі структурою рівнянь електростатики для області, що не містить вільних зарядів, то при розв'язанні рівнянь магнітостатики можна користуватися рішеннями рівнянь електростатики з заміною в них на і на .

Енергія статичного магнітного поля

,

а її густина Отже, енергія в магнетику в разів більше, ніж у вакуумі при цій же напруженості поля.

15. Стаціонарне поле

15.1. Рівняння стаціонарного поля

Стаціонарне поле створюється зарядами, які рівномірно рухаються, тобто постійним струмом. Таке поле описується рівняннями:

Останнє з цих рівнянь указує на те, що поле вектора соленоїдальне, тобто лінії струму замкнуті.

Хвилеві рівняння при стаціонарному полі переходять в рівняння Пуасона

Напруженості поля зв'язані з електромагнітними потенціалами співвідношеннями

(1.42)

У області, що не містить сторонніх джерел, як і у випадку статичних полів, рівняння Пуасона переходять у рівняння Лапласа

Постійні інтегрування при рішенні рівнянь Пуасона і Лапласа знаходять із забезпечення граничних умов, які можна звести до наступних:

а) на границі будь-яких серед потенціал незмінний, тобто ;

б) на границі провідник - провідник

в) на границі діелектрик - провідник

Електричне поле в діелектричній середі, що не містить зарядів, і провідника з постійним струмом

описується наступними рівняннями:

Порівнюючи ці рівняння з рівняннями електростатичного поля, бачимо, що вони збігаються. Проте граничні умови стаціонарного поля відрізняються від граничних умов для електростатичного поля. У випадку електростатичного поля поверхня провідника еквіпотенціальна, тобто . У стаціонарному ж полі дотична складового вектори в напрямку ліній струму, тобто , і електричні силові лінії відходять від поверхні провідника не по нормалям, як це має місце в електростатичному полі. У силу цього електричне поле постійного струму поза провідником характеризується складовими

У більшості практичних випадків і тому наявністю подовжнього поля в навколишньому просторі при розрахунках зневажають. При такому допущенні граничні умови для стаціонарного поля збігаються з умовами для електростатичного поля. Тому при розгляді електричного поля в просторі між провідниками з постійним струмом можна скористатися рішенням відповідних електростатичних задач.

Усередині провідника з постійним струмом напруженість електричного поля не дорівнює нулю; на підставі виразу

тоді як електростатичне поле в цьому випадку відсутнє .

Рис.12. До визначення поля провідника з постійним струмом.

Магнітне поле, утворюване провідником зі струмом (рис.12), у точці визначається на основі формули . Так як лінії струму безперервні , то струм постійний у будь-якому перетині провідника і векторний потенціал

(1.43)

Ця формула придатна для визначення векторного потенціалу поля на великій відстані (у порівнянні з лінійними розмірами поперечного перетину провідника).

Використовуючи співвідношення (1.42), за допомогою формули (1.43) знаходимо напруженість магнітного поля провідника з постійним струмом

.

Інтегрування проводиться по контуру провідника, а диференціювання в тій точці, де визначається напруженість поля. На підставі формули

тут , тому що не залежить від координат точки, у якій визначається , а

де - орт радіуса-вектора.

З урахуванням цих співвідношень знаходимо:

.

Отриманий вираз представляє закон Біо-Савара в інтегральній формі; у диференціальній формі він має наступний вигляд:

З останніх двох виразів випливає, що напрямок вектора збігається з напрямком обертання правого гвинта, якщо його поступальний рух збігається з напрямком вектора (або напрямком струму) (рис.13).

Рис.13. До визначення напрямку магнітного поля.

Якщо густина струму однакова по всьому перетині провідника , то магнітне поле усередині провідника на відстані (рис.14) створюється тільки частиною струму, обумовленого співвідношенням

Рис.14. До визначення магнітного поля усередині провідника.

Підкреслимо, що магнітне поле усередині провідника має вихровий характер, тому що в цій області , а поза провідником - потенційний, тому що тут .