3.2. Выборочный метод

Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех слу­чаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин x, y, z, ... не образуют выборок, но значения функции образуют выборку, т. е. величина f является некоторой физической константой. Штрих у аргументов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные погрешности: , , . Здесь учтено, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах, поскольку зависят от отсчетов не образующих выборок величин x, y, z, ... по шкалам приборов.

Статистическая обработка полученных значений производится так же, как и в анализе данных прямых измерений, которые позволяют найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки ):

, , (3.7)

а затем вычислить ее случайную погрешность , или .

Для определения приборной погрешности θ_f представим i-е смещенное значение величины в окрестности точки , координаты которой не зависят от приборных погрешностей,

в виде суммы истинного значения этой величины и малого конечного приращения, определяемого выражением (3.1):

, (3.8)

где , , , .

Ввиду малости приборных погрешностей значения производных в точке можно считать совпадающими с их значениями в экспериментальной точке . Смещенное среднее значение косвенно определяемой величины с учетом (3.8) будет иметь вид

, (3.9)

где – приборная погрешность функции.

Согласно (3.9) несмещенное значение величины будет равно , где ввиду неизвестности величин и знаков приборных погрешностей , , приборная погрешность функции также неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функции ее верхней границей . Тогда

, (3.10)

где θ_xi, θ_yi, θ_zi – верхние границы приборных погрешностей аргументов. Выражение для верхней границы приборной погрешности функции можно также записать в виде, удобном в ряде приложений: , где , , ; , , – наибольшие значения верхних границ приборных погрешностей аргументов в серии опытов.

Несмещенное среднее значение функции можно найти как . Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде , где представляет собой полную погрешность функции.

При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают.

Замечание 1. Выборочный метод допустимо использовать и в том случае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применять выборочный метод при нахождении результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей, поскольку в выборочном методе случайная погрешность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что приводит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида

,

в которых ввиду большого диапазона изменения значений аргументов и .

Замечание 2. Если функция f удобна для логарифмирования, формулы для нахождения погрешности могут быть упрощены. Используя тождество и вводя новые весовые множители , , , получим

,

где и – приборная погрешность и значение косвенно определяемой величины, соответствующие данному набору совместно измеренных значений аргументов,

.

Замечание 3. В том случае, когда функция f есть физическая константа, значение которой определяется через наборы совместно измеренных значений аргументов функции выборочным методом, ее значение можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее.