VI. Ряды Теоретические вопросы
-
Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
-
Теоремы сравнения.
-
Признаки Даламбера и Коши.
-
Интегральный признак сходимости ряда.
-
Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
-
Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
-
Понятие равномерной сходимости.
-
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
-
Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
-
Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
-
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.
-
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
-
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
-
Разложение по степеням
бинома
. -
Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
-
Разложение по степеням
функций
,
,
,
.
Теоретические упражнения.
-
Ряды
и
сходятся. Доказать, что ряд
сходится, если
.
У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства
.
-
Ряд
сходится. Доказать, что ряд
тоже сходится. Показать, что обратное
утверждение неверно. -
Ряды
и
сходятся. Доказать, что ряд
тоже сходится.
У к а з а н и е. Доказать и использовать
неравенство
.
-
Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.
-
Пусть ряд
сходиться и
.
Можно ли утверждать, что сходиться
ряд
?
Рассмотреть пример
и
.
-
Пусть ряд
сходиться равномерно на отрезке
.
Доказать, что ряд
так же сходиться равномерно на этом
отрезке. -
Может ли функциональный ряд на отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,
б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?
Рассмотреть примеры:
a)
,
отрезок
произвольный;
б)
,
отрезок
.
-
Показать, что функция
всюду непрерывна. -
Доказать, что ряд
сходится равномерно в интервале
.
Можно ли его дифференцировать в этом
интервале? -
Доказать, что если ряд
сходиться в точке
,
то он сходиться абсолютно
.
Расчетные задания.
Задача
1. Найти сумму
ряда.
1.1.
. 1.2.
.
1.3.
. 1.4.
.
1.5.
. 1.6.
.
1.7.
. 1.8.
.
1.9.
. 1.10.
.
1.11.
. 1.12
.
1.13
. 1.14
.
1.15.
. 1.16
.
1.17.
. 1.18.
.
1.19.
. 1.20.
.
1.21.
. 1.22.
.
1.23.
. 1.24.
.
1.25
. 1.26.
.
1.27.
. 1.28.
.
1.29.
. 1.30.
.
1.31.
.
Задача 2. Найти сумму ряда.
2.1.
2.2
2.3.
2.4.
.
2.5.
. 2.6.
.
2.7.
2.8.
2.9.
. 2.10.
.
2.11.
. 2.12.
.
2.13.
. 2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
. 2.18.
.
2.19.
. 2.20.
.
2.21.
. 2.22.
.
2.23.
. 2.24.
.
2.25.
. 2.26.
.
2.27.
. 2.28.
.
2.29.
. 2.30.
.
2.31.
.
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.
3.1.
. 3.2.
.
3.3.
. 3.4.
.
3.5.
. 3.6.
.
3.7.
. 3.8.
.
3.9.
. 3.10.
.
3.11.
. 3.12.
.
3.13.
. 3.14.
.
3.15.
. 3.16.
.
3.17.
. 3.18.
.
3.19.
. 3.20.
.
3.21.
. 3.22.
.
3.23.
. 3.24.
.
3.25.
. 3.26.
.
3.27.
. 3.28.
.
3.29.
. 3.30.
.
3.31.
.
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
4.1.
. 4.2.
.
4.3.
. 4.4.
.
4.5.
. 4.6.
.
4.7.
. 4.8.
.
4.9.
. 4.10.
.
4.11.
. 4.12.
.
4.13.
. 4.14
.
4.15.
. 4.16.
.
4.17.
. 4.18.
.
4.19.
. 4.20.
.
4.21.
. 4.22.
.
4.23.
. 4.24.
.
4.25.
. 4.26.
.
4.27.
. 4.28.
.
4.29.
. 4.30.
.
4.31.
.
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
5.1.
. 5.2.
.
5.3.
. 5.4.
.
5.5.
. 5.6.
.
5.7.
. 5.8.
.
5.9.
. 5.10.
.
5.11.
. 5.12.
.
5.13.
. 5.14.
.
5.15.
. 5.16.
.
?
5.17.
. 5.18.
.
5.19.
. 5.20.
.
5.21.
. 5.22.
.
5.23.
. 5.24.
.
5.25.
. 5.26.
.
5.27.
. 5.28.
.
5.29.
. 5.30.
.
5.31.
.
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
6.1.
. 6.2.
.
6.3.
. 6.4.
.
6.5.
. 6.6.
.
6.7.
. 6.8.
.
6.9.
. 6.10.
.
6.11.
. 6.12.
.
6.13.
. 6.14.
.
6.15.
. 6.16.
.
6.17.
. 6.18.
.
6.19.
. 6.20.
.
6.21.
. 6.22.
.
6.23.
. 6.24.
.
6.25.
. 6.26.
.
6.27.
. 6.28.
.
6.29.
. 6.30.
.
6.31.
.
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
7.1.
. 7.2.
.
7.3.
. 7.4.
.
7.5.
. 7.6.
.
7.7.
. 7.8.
.
7.9.
. 7.10.
.
7.11.
. 7.12.
.
7.13.
. 7.14.
.
7.15.
. 7.16.
.
7.17.
. 7.18.
.
7.19.
. 7.20.
.
7.21.
. 7.22.
.
7.23.
. 7.24.
.
7.25.
. 7.26.
.
7.27.
. 7.28.
.
7.29.
. 7.30.
.
7.31.
.
Задача 8. Исследовать на сходимость ряд.
8.1.
. 8.2.
.
8.3.
. 8.4.
.
8.5.
.
8.6.
.
8.7.
. 8.8.
.
8.9.
. 8.10.
.
8.11.
. 8.12.
.
8.13.
. 8.14.
.
8.15.
. 8.16.
.
8.17.
. 8.18.
.
8.19.
. 8.20.
.
8.21.
. 8.22.
.
8.23.
. 8.24.
.
8.25.
. 8.26.
.
8.27.
. 8.28.
.
8.29.
. 8.30.
.
8.31.
.
Задача
9. Вычислить
сумму ряда с точностью
.
9.1.
. 9.2.
.
9.3.
. 9.4.
.
9.5.
. 9.6.
.
9.7.
. 9.8.
.
9.9.
. 9.10.
.
9.11.
.
9.12.
.
9.13.
. 9.14.
.
9.15.
. 9.16.
.
9.17.
. 9.18.
.
9.19.
. 9.20.
.
9.21.
. 9.22.
.
9.23.
. 9.24.
.
9.25.
. 9.26.
.
9.27.
. 9.28.
.
9.29.
. 9.30.
.
9.31.
.
Задача
10. Доказать
справедливость равенства. (Ответом
служит число
,
получаемое при применении признака
Даламбера или признака Коши.)
10.1.
. 10.2.
.
10.3.
. 10.4.
.
10.5.
. 10.6.
.
10.7.
. 10.8.
.
10.9.
. 10.10.
.
10.11.
. 10.12.
.
10.13.
. 10.14.
.
10.15.
. 10.16.
.
10.17.
. 10.18.
.
10.19.
. 10.20.
.
10.21.
. 10.22.
.
10.23.
. 10.24.
.
10.25.
. 10.26.
.
10.27.
. 10.28.
.
10.29.
. 10.30.
.
10.31.
.
Задача 11. Найти область сходимости функционального ряда.
11.1.
. 11.2.
.
11.3.
. 11.4.
.
11.5.
. 11.6.
.
11.7.
. 11.8.
.
11.9.
. 11.10.
.
11.11.
. 11.12.
.
11.13.
. 11.14.
.
11.15.
. 11.16.
.
11.17.
. 11.18.
.
11.19.
. 11.20.
.
11.21.
. 11.22.
.
11.23.
. 11.24.
.
11.25.
. 11.26.
.
11.27.
. 11.28.
.
11.29.
. 11.30.
.
11.31.
.
Задача 12. Найти область сходимости функционального ряда.
12.1.
. 12.2.
.
12.3.
. 12.4.
.
12.5.
. 12.6.
.
12.7.
. 12.8.
.
12.9.
. 12.10.
.
12.11.
. 12.12.
.
12.13.
. 12.14.
.
12.15.
. 12.16.
.
12.17.
. 12.18.
.
12.19.
. 12.20.
.
12.21.
. 12.22.
.
12.23.
. 12.24.
.
12.25.
. 12.26.
.
12.27.
. 12.28.
.
12.29.
. 12.30.
.
12.31.
.
Задача 13. Найти область сходимости функционального ряда.
13.1.
. 13.2.
.
13.3.
. 13.4.
.
13.5.
. 13.6.
.
13.7.
. 13.8.
.
13.9.
. 13.10.
.
13.11.
. 13.12.
.
13.13.
. 13.14.
.
13.15.
. 13.16.
.
13.17.
. 13.18.
.
13.19.
. 13.20.
.
13.21.
. 13.22.
.
13.23.
. 13.24.
.
13.25.
. 13.26.
.
13.27.
. 13.28.
.
13.29.
. 13.30.
.
13.31.
.
Задача 14. Найти область сходимости функционального ряда.
14.1.
. 14.2.
.
14.3.
. 14.4.
.
14.5.
. 14.6.
.
14.7.
. 14.8.
.
14.9.
. 14.10.
.
14.11.
. 14.12.
.
14.13.
. 14.14.
.
14.15.
. 14.16.
.
14.17.
. 14.18.
.
14.19.
. 14.20.
.
14.21.
. 14.22.
.
14.23.
. 14.24.
.
14.25.
. 14.26.
.
14.27.
. 14.28.
.
14.29.
. 14.30.
.
14.31.
.
Задача
15. Доказать,
исходя из определения, равномерную
сходимость функционального ряда на
отрезке
.
При каких
абсолютная величина остаточного члена
ряда не превосходит
?
15.1.
. 15.2.
.
15.3.
. 15.4.
.
15.5.
. 15.6.
.
15.7.
. 15.8.
.
15.9.
. 15.10.
.
15.11.
. 15.12.
.
15.13.
. 15.14.
.
15.15.
. 15.16.
.
15.17.
. 15.18.
.
15.19.
. 15.20.
.
15.21.
. 15.22.
.
15.23.
. 15.24.
.
15.25.
. 15.26.
.
15.27.
. 15.28.
.
15.29.
. 15.30.
.
15.31.
.
Задача 16. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
16.1.
. 16.2.
.
16.3.
. 16.4.
.
16.5.
. 16.6.
.
16.7.
. 16.8.
.
16.9.
. 16.10.
.
16.11.
. 16.12.
.
16.13.
. 16.14.
.
16.15.
. 16.16.
.
16.17.
. 16.18.
.
16.19.
. 16.20.
.
16.21.
. 16.22.
.
16.23.
. 16.24.
.
16.25.
. 16.26.
.
16.27.
. 16.28.
.
16.29.
. 16.30.
.
16.31.
.
Задача 17. Найти сумму ряда.
17.1.
. 17.2.
.
17.3.
. 17.4.
.
17.5.
. 17.6.
.
17.7.
. 17.8.
.
17.9.
. 17.10.
.
17.11.
. 17.12.
.
17.13.
. 17.14.
.
17.15.
. 17.16.
.
17.17.
. 17.18.
.
17.19.
. 17.20.
.
17.21.
. 17.22.
.
17.23.
. 17.24.
.
17.25.
. 17.26.
.
17.27.
. 17.28.
.
17.29.
. 17.30.
.
17.31.
.
Задача 18. Найти сумму ряда.
18.1.
. 18.2.
.
18.3.
. 18.4.
.
18.5.
. 18.6.
.
18.7.
. 18.8.
.
18.9.
. 18.10.
.
18.11.
. 18.12.
.
18.13.
. 18.14.
.
18.15.
. 18.16.
.
18.17.
. 18.18.
.
18.19.
. 18.20.
.
19.21.
. 18.22.
.
18.23.
. 18.24.
.
18.25.
. 18.26.
.
18.27.
. 18.28.
.
18.29.
. 18.30.
.
18.31.
.
Задача
19. Разложить
функцию в ряд Тейлора по степеням
.
19.1.
. 19.2.
.
19.3.
. 19.4.
.
19.5.
. 19.6.
.
19.7.
. 19.8.
.
19.9.
. 19.10.
.
19.11.
. 19.12.
.
19.13.
. 19.14.
.
19.15.
. 19.16.
.
19.17.
. 19.18.
.
19.19.
. 19.20.
.
19.21.
. 19.22.
.
19.23.
. 19.24.
.
19.25.
. 19.26.
.
19.27.
. 19.28.
.
19.29.
. 19.30.
.
19.31.
.
Задача 20. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
20.1.
. 20.2.
.
20.3.
. 20.4.
.
20.5.
. 20.6.
.
20.7.
. 20.8.
.
20.9.
. 20.10.
.
20.11.
. 20.12.
.
20.13.
. 20.14.
.
20.15.
. 20.16.
.
20.17.
. 20.18.
.
20.19.
. 20.20.
.
20.21.
. 20.22.
.
20.23.
. 20.24.
.
20.25.
. 20.26.
.
20.27.
. 20.28.
.
20.29.
. 20.30.
.
20.31.
.