13Теорема о базисном миноре и о ранге матрицы
.docТеорема о базисном миноре и о ранге матрицы:
Теорема №1: В произвольной матрице А каждый столбец является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Доказательство начнем со следующего замечания. Соотношение вида аj0=1aj1+...+rajr (1) связывающее столбцы матрицы, не меняется при элементарных преобразованиях её строк. В самом деле, мы можем смотреть на (1) как на систему линейных уравнений относительно 1,...,r Элементарным преобразованиям строк соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (1) и, =>, преобразования этой системы, не меняющие множества её решений (Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы). Таким образом, столбцы преобразованной матрицы связаны соотношением того же вида, как (1), с теми же коэффициентами. Для преобразованной матрицы справедливость теоремы непосредственно очевидна: любой её столбец раскладывается по базисным столбцам с коэффициентами, равными тем его элементам, которые расположены в первых r строках. Из сделанного выше замечания следует, что та же зависимость имеет место и для столбцов исходной матрицы A. Теорема доказана. Следствие: Каждая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор. Для доказательства следует применить теорему к транспонированной матрице, заметив предварительно, что базисный минор после транспонирования остается базисным. Предложения: (2) Если А – квадратная матрица и det A0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов, а также одна из строк – линейная комбинация остальных строк. Действительно, условие detA=0 означает, что Rg An–1, где n – порядок матрицы. Поэтому по крайней мере один из столбцов и одна из строк не пересекают базисный минор. Столбец и строка, не пересекающие базисный минор, линейно выражаются соответственно через столбцы и строки, в которых расположен базисный минор. Теорема №2: (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы А равен, максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице. Если Rg А=0, то все столбцы нулевые и нет ни одного линейно независимого столбца. Пусть Rg А=r>0. Покажем, что в А существует r линейно независимых столбцов. Действительно, рассмотрим составленную из элементов матрицы А матрицу А' порядка r, детерминантом которой является базисный минор. Столбцы A' представляют собой части столбцов А. Если бы столбцы А, в которых расположен базисный минор, были линейно зависимы, то были бы линейно зависимы столбцы А' и базисный минор равнялся бы 0. Докажем теперь, что любые р столбцов матрицы А линейно зависимы, если р>r. Составим матрицу В из этих р столбцов. Rg Вr, так как каждый минор матрицы В является минором матрицы А и, =>, в В нет отличного от нуля минора порядка, большего чем r. Таким образом, Rg В<р и хотя бы один из столбцов матрицы В не входит в её базисный минор. Этот столбец линейно выражается через остальные. Тем самым теорема доказана.
Точно так же доказывается, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк. Отсюда вытекает следствие: Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.