4Базис линейного пространства, размерность пр-ва, координаты вектора

Базис линейного пространства, размерность пространства, координаты векторов:

Определение: Базисом в пространстве L мы на­з. упорядоченная конечную систему векторов, если: а)она линейно независима и б)каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов этой системы. Упорядоченная – значит, что каждому вектору в базисе приписан определенный номер. Из одной и той же системы векторов можно получать разные базисы, по-раз­ному нумеруя векторы. Коэффициенты линейной комбинации, о которой идет речь в определении, называются компонентами или координатами вектора по базису. Векторы базиса e₁, ..., e_n запишем в строку: e=||e₁...e_n||, а компоненты ¹, ...,ⁿ вектора x по базису e в столбец: =||¹, ...,ⁿ||, который наз. координатным столбцом вектора. Теперь разложение вектора по базису можно записать в любом из следующих видов:

,(где элементы строки e – векторы, а не числа, =>можно применять к этим строкам определения операций с матрицами). Предложения: (1) Если задан базис, то компонен­ты вектора определяются однозначно. В противном случае мы имели бы два равенства х=ⁱe_i и x=ⁱ₁e_i, из которых вытекало бы S(ⁱ–ⁱ₁) e_i=0. Поскольку система векторов e_i, ..., e_n линейно независима, все коэффициенты линейной комби­нации равны 0, и, =>, ⁱ=ⁱ₁ при всех i=1, ..., n. (2) Координатный столбец суммы векторов, = сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произведения вектора на число = произведению координатного столбца данного вектора на это число. Для доказательства достаточно выписать следующие цепочки равенств: х+у=е+е= е(+) и х=e=e(), где  и  координатные столбцы векторов х и у. Из (2) =>, что координатный столбец линейной комбинации векторов есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми же коэф­фициентами. Отсюда вытекает (3) Векторы линейно зависимы тог­да и только тогда, когда, линейно зависимы их коорди­натные столбцы.

Доказательство очевидно: равенство нулю нетривиальной линейной комбинации векторов влечет за собой обращение в нуль линейной комбинации их координат­ных столбцов с теми же коэффициентами. Так же дока­зывается и обратное предложение.

Теорема 1. Если в линейном пространстве сущест­вует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит из того же числа векторов. Определение: Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, наз. п-мерным, а чиcло n – размерностью пространства. В нулевом пространстве нет базиса, так как система, состоящая из одного нулевого вектора, является линейно зависимой. Размерность нулевого пространства по опре­делению считаем равной 0. Может случиться, что, каково бы ни было натуральное число т, в пространстве L найдется т линейно незави­симых векторов. Такое пространство наз. бесконечно мерным. Базиса в нем не существует. В пространстве конечной размерности существует бес­конечно много различных базисов. (4) В n-мерном пространстве каждая упорядоченная система из n линейно независимых век­торов явл. базисом. В самом деле, если дана такая система векторов, то каждый вектор пространства раскладывается по этим векторам, так как иначе в пространстве нашлось бы n + 1 линейно независимых векторов. (5) В n-мерном пространстве каж­дую упорядоченную линейно независимую систему из k<n векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к любой такой системе можно присоединить еще один вектор, который через неё ли­нейно не выражается. (Если бы это было не так, то си­стема сама была бы базисом.) Теперь мы имеем k+1 линейно независимых векторов. Если k+1<n, то повто­ряем рассуждение. Мы действуем так до тех пор, пока не получим n линейно независимых векторов, в число которых входят данные k векторов. В частности, до базиса можно дополнить любой не­нулевой вектор.