7Смешанное произведение

Смешанное произведение:

О пределение: Число (а, [b,с]) наз. смешанным произведением векто­ров а,b,с и обозначается (а,b,с). Предложения: [1] Смешанное произведение неком­планарных векторов а,b и с по модулю равно объему па­раллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно поло­жительно, если тройка а,b,с правая, и отрицательно, если она левая. Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b и с, равен (рис) произведению пло­щади основания |[b, с]| на высоту |a| |cos|. Здесь  – угол между векторами а и [b,с]. Поэтому мы можем записать V=|[b, c]| |a| |cos| = |(a,[b,с])| = |(а,b,с)|. [5] Смешанное произведение = 0 тогда и только тогда, когда сомножители компла­нарны (рис). Действительно, (а,b,с) = |a| |b,c| cos, где  – угол между векторами а и [b,с]. Равенство |a| |b,c| cos = 0 возможно только тогда, когда выполнено хоть одно из условий: а) |a| = 0. Очевидно, что тогда векторы компланарны; б) |[b, с]| = 0. Тогда b и с коллинеарны и, => а, b и с компланарны. в) cos = 0. Тогда вектор а ортогонален [b,с], т.е. компланарен b и с. Обратное утверждение доказывается аналогично: ес­ли а, b и с компланарны и не имеют места случаи а) и б), то имеет место случай в).