6Векторное произведение

Векторное произведение:

Определение: Пусть даны векторы a и b. Построим по ним вектор с, удовлет­воряющий условиям: (1) |e| = |a| |b| sin  (sin0, т.к. 0), где  – угол между a и b;

(2) вектор с ортогонален векторам а и b; (3) векторы а, b, с образуют правую тройку векторов. Так построенный вектор с наз. векторным произ­ведением векторов а и b и обозначается [а, b]. Приведенные условия определяют векторное произведение с точностью до равенства, если сомножители – ненулевые векторы. Если хоть один из сомножителей – нуль, то векторное произведение по определению есть нулевой вектор. Из определения вытекает, что модуль векторного про­изведения неколлинеарных векторов численно равен пло­щади параллелограмма, построенного на сомножителях (если сомножители имеют общее начало). Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны (0-ой вектор коллинеарен любому вектору) Предложение: Векторное умножение антиком­мутативно, т.е., всегда [а,b] = – [b,а]. Действительно, из определения =>, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомно­жителей. Точно так же вектор [а, b] коллинеарен векто­ру [b, а]. Однако, переставляя сомножители, мы долиты изменить направление произведения, чтобы было выпол­нено условие (3) определения. Действительно, если a,b,[а,b] – правая тройка, то b,а,[а,b] – левая, а b, а, – [а, Ь] – снова правая тройка.