11Обратная матрица

Обратная матрица:

Определение: Матрица Х, удовлетворяющая вме­сте с заданной матрицей А равенствам XA=AX=E_n (1),

(где Е_n – единичная матрица некоторого порядка n) наз. обратной к А и обозначается A^–1.Поскольку А и A^–1 перестановочны, они обе должны быть квадратными того же порядка n. Из (1) в силу того, что ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей, мы имеем Rg E_nRg A. Отсюда RgA=n. Поэтому матрица А может иметь обратную только тогда, когда её детерминант  0. Приведенное условие является не только необходимым, но и достаточ­ным для существования обратной матрицы. Предложение: (1) Каждая квадратная матрица с детерминантом, отличным от нуля, имеет обратную мат­рицу, и притом только одну. Доказательство: Для каждой матрицы А с det A0 существует единственная матрица Х такая, что АХ=Е. Действительно, при любом j столбец x_j матрицы Х должен удовлетворять условию Ах_j=е_j, где е_j – j-й столбец единичной матрицы. Подробнее это условие за­писывается сист. линейных уравнений: (2)

a₁₁x_i¹+...+a_1nx_jⁿ=0 По правилу Крамера эта система

............................. уравнений имеет един­ственное

a_j1x_i¹+...+a_jnx_jⁿ=1  решение, и, => каждый столбец

............................. матрицы Х однозначно определен.

a_n1x_i¹+...+a_nnx_jⁿ=0 Докажем, что ХА=Е. С этой целью заметим, что det X0 и по только что доказанному существует такая матрица Y, что XY=Е. Мы найдем Y, если умножим обе части последнего равенства слева на матрицу A. Тогда AХY=А, откуда в силу АX=Е следует Y=A. Итак, матрица Х удовлетворяет обоим условиям (1). Способ, примененный при доказат-ве существо­вания, является основой для нахождения обратной мат­рицы. Согласно правилу Крамера i-я неизвестная в си­стеме (2) находится по формуле х_jⁱ=_i/det A, где _i – детерминант матрицы, получаемой из А заменой её i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы. Разлагая _i по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в e_j только один элемент равен 1, а остальные – ну­ли. =>, _i = (–1)^i+j M_i^j, где M_i^j – дополни­тельный минор элемента a_i^j в матрице А. Окончательно:

x_jⁱ = ((–1)^i+j M_i^j)/det A, (3). Можно решать систему (2) и методом Гаусса.