2Линейные подпространства

Линейные подпространства:

Определение: Непустое множество L' векторов в линейном пространстве L наз. линейным под­пространством если: а) сумма любых векторов из L' принадлежит L', б) произведение каждого вектора из L' на любое число также принадлежит L'. =>можно доказать, что в силу этого опреде­ления любая линейная комбинация векторов из L' принадлежит L'. В частности, нулевой вектор, как произве­дение 0x, должен лежать в L' Точно так же для каждого вектора х из L' противоположный вектор, равный — 1x, лежит в L'. Сложение и умножение на число, определенные в про­странстве L будут такими же операциями в его подпро­странстве L', Справедливость аксиом линейного прост­ранства для L' прямо вытекает из их справедливости в L, т.о. каждое линейное подпространство са­мо является линейным пространством. Предложения: (1) Размерность линейной оболочки конечного множества векторов не превосходит числа этих векторов. (2) Пусть L' – подпространство n-мерного линейного пространства L_n. Тогда L' имеет размерность k  n. Если k=n, то L' совпадает с L_n. (3) Пусть L' – подпространство в n-мерном пространстве L. Если базис e₁, ..., e_k, e_k+1, ..., e_k в L, то в базисе e₁, ..., e_k все векторы из L' и только такие векторы будут иметь компоненты ^k+1=0, ..., ^k=0. (4)Пусть в n-мерном пространстве L выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих k-мерному подпространству L', удовлетворяет однородной системе линейных уравнений ранга n–k (при L'=L сист. имеет 0-ой ранг, т.е. не содержит ни одного нетривиального уравнения).