
17Линейные операторы
.docЛинейные операторы:
Линейным
оператором
в линейном пространстве L
наз. всякое отображение A:
LL
пространства
L
в себя,
обладающее свойствами A(x)=Ax
и
A(x+y)=Ax+Ay.
Пусть A
–линейный оператор в конечномерном
пространстве Ln
и В
= (e1,...,en)
– некоторый
фиксированный базис. Разложим векторы
по базису В:
Aek=a1ke1+...+anke,
k=1,...,n. Тогда
матрица
называется матрицей оператора A в базисе В. Матрицу оператора A будем иногда обозначать символом [A] или [A]B, если существенно, о каком базисе идёт речь. Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: если y=Ax, то Y=AX, где X,Y – столбцы координат векторов x, y и A – матрица оператора A в базисе В. Пусть A и A' – матрицы оператора A в базисах B и B', а T=TBВ' – матрица перехода от базиса B к базису B'. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид A'=T–1AT. Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции: (а) сложение операторов: (A+B)х=Ax+Bx; при этом [A+B]=А+В; (б) умножение операторов на числа: (A)x=(Ax); при этом [B]= B; (в) умножение операторов: (АВ)х=А(Вх); при этом [AВ]=АВ. Обратным к оператору А наз. оператор A–1 такой, что AA–1=A–1A=E, где Е—единичный оператора реализующий тождественное отображение. Оператор A имеет обратный (и в этом случае наз. невырожденным) в том и только в том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [A–1]=A–1.