14Правило Крамера

Правило Крамера:

Теорема Крамера: Система из n уравнений с n неизвестными: (1)

в случае, когда детерминант матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это реше­ние находится по формулам

xⁱ=ⁱ/ (для всех i=1,...,n) (2), где через ⁱ обозначен детерминант матрицы системы, а через  детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных чле­нов, т.е.:

Для доказательства возьмем расширенную матрицу системы А* и припишем к ней сверху произвольную ее строку. Пусть номер этой строки j. В результате получа­ется квадратная матрица А порядка n+1. В этой мат­рице две одинаковые строки, и потому:

С другой стороны, мы можем вычислить detA по определению.

Итак,

(n||i=1)(–1)ⁱ⁺¹a_i^jM_i+(1)ⁿ⁺¹⁺¹det Ab_j =0. Здесь через M_i обозначен детерминант матрицы, получае­мой из расширенной матрицы A* вычеркиванием i-го столбца. =>, учитывая, что =det A0, мы можем написать

Если внести множитель под знак суммы, это равенство примет вид

где:

Так определенный набор чисел х¹,...,xⁿ, как мы видим, удовлетворяет j-му уравнению системы. Существенно, что числа x¹,..., xⁿ не зависят от j и потому удовлетворяют всем уравнениям системы, т.е. являются её решением. Существование решения доказано. Мы приведём xⁱ к нужному виду, если переставим в А последний столбец b на 1-е место, т.е. поменяем его местами последовательно со столбцами с номерами n, n–1,...,i+1. Всего нужно n–i перестановок. Поэтому x¹=((–1)ⁿ⁺ⁱ(–1)^n–iⁱ)/= ⁱ/. Это и есть требуемый вид для хⁱ. Нам осталось доказать единственность полученного решения. Сделаем это от противного. Пусть нашлось два решения системы: a¹,...,aⁿ и ¹,..., ⁿ. Пользуясь операциями со столбцами, мы можем записать систему в виде x¹a₁+...+xⁿa_n=b,где a₁,...,a_n – столб­цы матрицы системы, b – столбец свободных членов. Результат подстановки решений (4) в систему имеет вид ¹a₁+...+ⁿa_n=b

¹a₁+...+ⁿa_n=b. Вычитая почленно второе равенство из первого, мы по­лучаем (¹–¹)a₁+...+(ⁿ–ⁿ)a_n=0 Если решения не совпадают, то хоть одна из разностей ⁱ–ⁱ отлична от нуля. Это означает, что столбцы a₁,...,a_n линейно зависимы. В силу того, что если в матрице А столбцы (или строки) линейно зависимы, то det A=0, это противоречит тому, что det A0. Теорема до­казана.