14Правило Крамера
.docПравило Крамера:
Теорема Крамера: Система из n уравнений с n неизвестными: (1)
в случае, когда детерминант матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам
xi=i/ (для всех i=1,...,n) (2), где через i обозначен детерминант матрицы системы, а через детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.:
Для доказательства возьмем расширенную матрицу системы А* и припишем к ней сверху произвольную ее строку. Пусть номер этой строки j. В результате получается квадратная матрица А порядка n+1. В этой матрице две одинаковые строки, и потому:
С другой стороны, мы можем вычислить detA по определению.
Итак,
(n||i=1)(–1)i+1aijMi+(1)n+1+1det Abj =0. Здесь через Mi обозначен детерминант матрицы, получаемой из расширенной матрицы A* вычеркиванием i-го столбца. =>, учитывая, что =det A0, мы можем написать
Если внести множитель под знак суммы, это равенство примет вид
где:
Так определенный набор чисел х1,...,xn, как мы видим, удовлетворяет j-му уравнению системы. Существенно, что числа x1,..., xn не зависят от j и потому удовлетворяют всем уравнениям системы, т.е. являются её решением. Существование решения доказано. Мы приведём xi к нужному виду, если переставим в А последний столбец b на 1-е место, т.е. поменяем его местами последовательно со столбцами с номерами n, n–1,...,i+1. Всего нужно n–i перестановок. Поэтому x1=((–1)n+i(–1)n–ii)/= i/. Это и есть требуемый вид для хi. Нам осталось доказать единственность полученного решения. Сделаем это от противного. Пусть нашлось два решения системы: a1,...,an и 1,..., n. Пользуясь операциями со столбцами, мы можем записать систему в виде x1a1+...+xnan=b,где a1,...,an – столбцы матрицы системы, b – столбец свободных членов. Результат подстановки решений (4) в систему имеет вид 1a1+...+nan=b
1a1+...+nan=b. Вычитая почленно второе равенство из первого, мы получаем (1–1)a1+...+(n–n)an=0 Если решения не совпадают, то хоть одна из разностей i–i отлична от нуля. Это означает, что столбцы a1,...,an линейно зависимы. В силу того, что если в матрице А столбцы (или строки) линейно зависимы, то det A=0, это противоречит тому, что det A0. Теорема доказана.