10Прямая и плоскость в пространстве
.docПлоскость и прямая в пространстве:
Плоскость Р в декартовой прямоугольной системе координат Охуz может быть задана уравнением одного из следующих видов: (1) Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости; (2) А(х–x0)+В(у–y0)+С(z–z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно нормальному вектору п(А,В,C); (3) x/+y/b+z/c =1 – уравнение плоскости в отрезках, где ,b,с – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox,Оу,Oz соответственно; (4) х cos+y cos+z cos =0 – нормальное уравнение плоскости, где cos, cos, cos – направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости, а p>0 – расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду (4) путем умножения на нормирующий множитель = –sgn D/A2+B2+C2
если плоскость Р задана нормальным уравнением вида (4), а M(x,y,z) – некоторая точка пространства, то выражение (М, P)=x cos+y cos+z cos–p задает отклонение точки М от плоскости Р, Знак (М, Р) указывает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости Р, то (М, Р)>0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то (М, Р)<0. Расстояние (М, Р) от точки М до плоскости Р определяется равенством (М, Р) = |(М,Р) |. Прямая L в пространстве может быть задана:
[1] общими уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0, где коэффициенты A1,B1,C1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, С2, что равносильно её заданию как линии пересечения плоскостей; [2] параметрическими уравнениями
x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt, или в векторной форме, где r0(x0,y0,z0) –радиус-вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, a q(l,т,п) – направляющий вектор прямой; [3] каноническими уравнениями (x–x0/l)=(y–y0/m)=(z–z0/n), что равносильно описанию прямой как линии пересечения трёх плоскостей, проецирующих эту прямую на координатные плоскости.