16Общее решение системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений:

Теорема №2: Если, х₁,...,x_n–1 – фундаментальна. система решений приведенной системы уравнений, a y₀ – некоторое решение системы (1)

,то столбец y=y₀+C₁x₁+...+C_n–rx_n–r, в развернутом виде, (2)

при любых числах C₁,...,С_n–r является решением системы линейных уравнений (1).

Наоборот, для каждого ре­шения этой системы найдутся такие числа C₁,...,С_n–r при которых оно имеет вид (14). Выражение, стоящее в правой части равенства (14), наз. общим решением системы линейных уравне­ний. Теорема верна для любых систем линейных уравне­ний, в частности для однородных. Правило Крамера гласит, что для существования и единственности решения системы из n уравнений с n неизвестными достаточно, чтобы детерминант матрицы системы отличался от нуля. Из теоремы №2 следует необ­ходимость этого условия.

Предложение: Пусть А – матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если det A=0,

то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений. Доказательство: Равенство det А=0 означает, что ранг матрицы А меньше n, и, =>, приве­денная система имеет бесконечно много решений. Если рассматриваемая система совместна, из формулы (14) вы­текает, что и она имеет бесконечно много решений.