1Линейное пространство

Линейное пространство:

Определение: Множество L мы назовем линейным пространством, а его элементы – векторами, если: 1) Задан закон (операция сложения), по которому лю­бым двум элементам х и y из L сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый х+y. 2) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из L и числу  сопоставляется эле­мент из L называемый произведением x на  и обозна­чаемый x. 3) Для любых элементов х, у и z из L для любых чисел  и  выполнены следующие требования: 1] x+y=y+x; 2] (x+y)+z=x+(y+z); 3] Существует элемент 0 такой, что для каждого х и L выполнено равенство х+0= х; 4] Для каждого х существует элемент – х такой, что х+(–х)=0; 5] (х+у)=x+y; 6] (+)x=x+x; 7] (x)=()x; 8] Произведение любого элемента х на число 1 равно х, т. е. 1х=х.

Если в п. 2) мы ограничиваемся вещественными чи­слами, то L называется вещественным линейным про­странством; если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство L называ­ется комплексным. Вектор – х называется противоположным вектору х, Вектор 0 называется нулевым вектором или нулем.

Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, как правило, греческими. Линейное пространство наз. нулевым, если оно состоит из одного элемента.