12Ранг матрицы и метод её вычисления

Ранг матрицы и метод её вычисления:

Определение: В матрице А размеров тn минор порядка r наз. базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю или миноров порядка r+1 вообще нет, т.е. r совпадает с меньшим из

чисел т или п. Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры поряд­ка r+1 равны нулю, то равны нулю и все миноры по­рядка r+2, а =>, и всех больших порядков. Это становится очевидным, если применить определение детерминанта к какому-нибудь минору порядка r+2; все дополнительные миноры элементов его первой стро­ки являются минорами порядка r+1 нашей матрицы и, следовательно, равны нулю. Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, мы назовем базисными столбцами и строками. Определение: Рангом матрицы наз. поря­док базисного минора, или, иначе, самый большой поря­док, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг та­кой матрицы, по определению, считают нулем. Ранг матрицы А мы будем обозначать Rg A. Перебирать все миноры в поисках базисного – зада­ча, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Проще всего находить ранг мат­рицы и её базисный минор при помощи элементарных преобразований. Предложения: (1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Доказательство: [1] При умножении строки на число 0 базисный минор либо не изменится, либо ум­ножится на . Ни один минор, равный 0, не сделается отличным от 0. [2] Если все миноры порядка r+1 равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от 0. Действительно, полученный после преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка r+1 исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не входящую), либо он равен сумме минора порядка r+1 и детерминанта матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке, входящей в минор, приба­вили другую строку, в него входящую). Из этих сообра­жений следует, что ранг матрицы не может повыситься. Ясно, что он не может и понизиться, так как в против­ном случае при обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился. [3] При перестановке строк минор может изменить (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком отличающийся от другого минора той же матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или во­обще не изменится. Ясно, что при этом порядок базисно­го минора останется тем же. [4] Неизменность ранга при элементарных преобразо­ваниях столбцов доказывается аналогично. Элементарные преобразования строк матрицы будут для нас предпочтительнее ввиду их тесной связи с преобразованиями систем линейных уравнений. Для системы из m уравнений с п неизвестными:

a₁₁x¹+...+a_1nxⁿ=b₁  расширенная ||a₁₁...a_1n b₁||

............................. матрица A*=||....................||

a_mx¹+...+a_mnxⁿ=b_m имеет вид: || a_m1...a_mn b_m||

Перестановке строк этой матрицы соответствует изменение порядка уравнений в системе. Умножение строки на число 0 равносильно умножению соответствующего уравнения на это число. Наконец, прибавить в матрице A* к одной строке другую – то же самое, что сложить соот­ветствующие уравнения системы. При всех этих преобразованиях множество решений системы, разумеется, не меняется. Итак, доказано. (2) Элементарным преобразовазованиям строк расширеной марицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в эквивалентную систему.