Задания С5

3

Задания С5

Уметь решать задачи на вычисления геометрических величин ( задачи по планиметрии ).

1.Дан ромб АВСЕ с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ ВЕ в точке К. Найдите длину отрезка СК.

2. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если её большее основание AD равно 15, синус угла ВАС равен 1/3, синус угла ABD равен 5/9.

3. Радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, равен 8, а один из углов треугольника 120°. Найдите площадь треугольника.

4. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 75° описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

5. Диагонали трапеции СЕКМ ( ЕК и СМ – основания ) пересекаются в точке О. Площадь треугольника СОЕ равна 16, СО = 2ОК. Найдите площадь трапеции.

6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если основания равны 17 и 15, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

7. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6, большее – 12., угол при основании равен 60°. Найдите радиус описанной окружности.

8. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = . АВ =10, угол МСА равен 45°.

9. Найти площадь КМР, если КР = 5, медиана РО = , .

10. В равнобедренную трапецию один из углов которого равен 60°, а площадь равна , вписана окружность. Найти радиус этой окружности.

11.В прямоугольной трапеции острый угол 30°., меньшее основание равно 5, а высота . Найти площадь трапеции.

12. Основания трапеции равны 10 и 31, а боковые стороны равны 20 и 13. Найти высоту трапеции.

13. В трапеции основания равны 24 и 8, а диагонали равны 13 и . Найдите площадь трапеции.

14. Стороны треугольника равны 12, 16 и 20. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины большего угла.

15. Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найти диаметр описанной окружности.

16. Один катет прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго на гипотенузу равна 16. Найти диаметр окружности описанной вокруг треугольника.

17. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна 10. Найти площадь треугольника.

18. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке М. Найти радиус окружности, если АМ = 6, ВМ = 24.

19. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ=,. Найти гипотенузу треугольника.

20. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках М и Р, причем МР = 12. Найти периметр треугольника.

В треугольнике АВС . Около треугольника описана окружность радиуса 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причем МК = 2. Найдите ВМ.

21. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если она касается стороны АВ в точке Р и известно, что АС = АВ = 15, ВР = 12.

22. Остроугольный равнобедренный треугольник ВСК с основанием СК, равным 16, вписан в окружность с центром О и радиусом 10. Найдите площадь треугольника ВОС.

23. К окружности проведены касательные МА и МВ. Найти хорду АВ, если радиус окружности равен 20, а расстояние от М до АВ равно 9.

24. Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается ВС в точке К, причем СК:ВК = 5:8. Найти площадь треугольника АВС, если его периметр равен 72.

25. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 4 и 5. Определите площадь треугольника.

26. Стороны треугольника равны 13,14 и 15. Найдите отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

27. Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2, если два угла треугольника равны 60° и 45°.

28. Найти радиус окружности вписанной в ромб, диагонали которого равны 10 и 24.

29.Найти площадь ромба, если его высота 8, а острый угол 30°.

30. Найти площадь ромба, если его периметр равен 40, а диагонали относятся как 3:4.

31. Острый угол ромба равен 60°, а его площадь . Найти периметр ромба.

32. Периметр правильного шестиугольника равен . Найти площадь шестиугольника.

33. Найти площадь правильного треугольника, если радиус вписанной окружности равен .

Задания С5

34. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 3 и 4 . Из вершины тупого угла В проведены две высоты BE и BF. вычислите площадь четырехугольника BFDE.

35. На стороне AD ромба АВСD взята точка М причем MD = 0,3AD, BM = MC =11. Найдите площадь треугольника ВСМ.

36. В равнобедренной трапеции ABCD AD =10, DC =2, AB = CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает ВС в точке К. Найти длину биссектрисы угла АВК в треугольнике АВК.

37. В трапеции MPQF длина оснований MF и PQ равны 24 и 4 соответственно. Высота трапеции равна 5. Точка N лежит на стороне MP, MN:NP = 3:1. Найти площадь треугольника NQF.

38. Дан квадрат ABCD со стороной . Определите расстояние между серединой отрезка АМ, где М – середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей её в отношении 3:1, считая от вершины С.

39. Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10.

40. Дан ромб АВСЕ. Окружность, описанная около треугольника АВЕ, пересекает большую диагональ ромба АС а точке К. Найдите СК, если АВ = 8, ВЕ = 16.

41. Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВО, ВК = 12, АК = 4, . Найдите площадь треугольника ОВК.

42. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

43. Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до катета, равного 12, если гипотенуза равна 15.

44. Высоты РА и СВ остроугольного треугольника РСТ пересекаются в точке Н, угол СНР равен 110°. Найдите градусную меру угла РСО, если точка О – центр окружности, описанной около треугольника РСТ.

45. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 4. Найдите площадь треугольника ВОС, если угол В равен 40°, а угол С равен 35°.

46. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 6, ВМ = 24.

47. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВСЕ, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что ВЕ = ВС = 15, СР = 12.

48. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ = 8, . Найдите гипотенузу.

49. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, если его сторона равна .

50. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ АС равна . Найдите площадь шестиугольника.

51.Точка D и Е – основания высот непрямоугольного треугольника АВС, проведенных из вершин А и С соответственно.

Известно, что DE:AC = k, BC =a и АВ = b. Найдите сторону АС.

52. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей,

Если АВ = 16.

53. Дана окружность и точка М. Точки А и В лежат на окружности, причем А – ближайшая к М точка окружности, а

В – наиболее удаленная от М точка окружности. Найдите радиус окружности, если МА = а и МВ = в.

54. В параллелограмме АВСD известны стороны АВ = а, ВС = в и угол ВАD равный α. Найдите расстояние между центрами

Окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

55. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом α при вершине А. Точка D – середина

гипотенузы. Точка С симметрична точке С относительно прямой ВD. Найдите угол АСВ.

56. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

57. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описан-

Ной около треугольника. Найдите угол АСВ.

58. В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и СN, О – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжении

Сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, МN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

59. Дана трапеция АВСD с боковыми сторонами АВ = 36 и СD =34, верхнее основание ВС = 10. Известно, что

Cos Найдите ВD.

60. На боковых сторонах АВ и СD трапеции с основаниями АD и ВС отмечены точки Р и Q соответственно, причем

PQ||AD. Прямая PQ разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1:2. Найдите PQ, если

AD = a, BC = b.

61. На стороне ВА угла АВС, равного 30°, взята точка D, что AD = 2 и ВD = 1. Найдите радиус окружности, прохо-

дящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.

62. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, BD:DC = 1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD

в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF.

63. Дан параллелограмм АВСD, AB = 3, DC = 5, A = 60°. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы

Угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь

Четырехугольника АВОD.

Задания С5

64. Через середину стороны АВ квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая прямые СD и AD в точках М и Т

соответственно и образующая с прямой АВ угол, тангенс которого равен 3. Найдите площадь треугольника ВМТ,

Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата АВСD равна 4.

65. Дана трапеция АВСD, основания которой ВС = 44, АD=100, АВ = СD = 35. Окружность, касающаяся прямых АD и АС касается стороны СD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

_____________________________________________________________________________

Ответы:

1) 10. 2) 12. 3) . 4) 8. 5) . 6) 64. 7) 6. 8) 21. 9) 3. 10) 3. 11) .

12. 12. 13) 80. 14) 9,6. 15) 30. 16) 25. 17) 30. 18) 8. 19) 24. 20) 90. 21) 4.

22. 40. 23) 24. 24) 240. 25) 54. 26) 27) . 28) . 29) 128.

30) 96. 31) 24. 32) . 33) . 34) 4,32. 35) . 36) . 37) 22,5.

38) 25. 39) 15. 40) 12. 41) 48. 42) 80. 43) 3. 44) 20. 45) 4.

46) 90. 47) 4. 48) 24. 49) 108. 50) 24. 51) 52)21 и 9.

53) . 54) 55)

56.) 30° или 150°. 57) 60° или 120°. 58) 59)

60) . 64) 2 или 10. 65) 5 или 30.