Варианты заданий

1) 2) 3)

4) 5) ; 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)

Пример. Пусть исходный ряд имеет вид: .

Решение. В этом случае n-я частичная сумма и остаточный член соответственно определяются по формулам:

,

Нужно найти такое по возможности меньшее значение n, что­бы R_n  . Рассмотрим обобщенную степень с отрицательным показате­лем, которая определяется формулой

.

Известна формула: Запишем следующие соотношения:

.

Найдем минимальное значение n, для которого выполнялось бы неравенство n(n + 1)  50000. Этим значением является n = 224. В таком случае за сумму ряда с точностью  = 10^-5 можно взять величину .

В исходном ряде . Подберем ряд таким образом,  чтобы. В качестве такого ряда возьмем

В таком случае, учитывая, что получим

.

Таким образом, В преобразованном ряде Этот ряд сходится быстрее исходного ряда. Для остаточного члена этого ряда запишем неравенства:

Найдем минимальное значение n, для которого выполня- лось бы неравенство или . Учитывая, что n должно быть целым, имеем n = 19 . Таким образом, за сумму ряда можно взять величину . В преобразованном ряде достаточно взять 19 членов вместо 224 членов в исходном ряде, чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью.

Лабораторная работа № 10 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона Пусть задана система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными

где F(x, y) и G (x, y) – непрерывно дифференцируемые функции. Предположим, что x_n , y_n – приближенные корни системы. Полагая

x = x_n + h_n ; y = y_n + k_n ,

получим:

Раскладывая функции F и G в ряд Тейлора и ограничиваясь ли­нейными членами, получим:

Если определитель этой системы отличен от нуля, то, решив ее, можно найти h_n и k_n, а затем определить новые приближения решения системы

x_n+1 = x_n + k_n; y_n+1 = y_n + k_n.

Начальные приближения выбираются грубо приближенно.

Если нужно найти решение системы с заданной точностью , то условием прекращения итераций по методу Ньютона может быть выполнение следующих двух неравенств:

 x_n+1 - x_n   ; y_n+1 - y_n   .

Задание. Методом Ньютона с точностью  = 0,001 решить следующую систему нелинейных уравнений:

x³ + ax² + bx + c – y = 0,

ln y + dx = 0,

где a = 1+ 0,2k; b = 8 + 2k; c = -4 + 0,1k; d = 1 + 0,1k; k — номер фамилии студента в журнале преподавателя.

Лабораторная работа № 11 Решение систем нелинейных уравнений методом итерации

Пусть задана система нелинейных уравнений:

Требуется с заданной точностью  найти решение этой системы (, ).

Будем считать, что грубое приближение (x₀, y₀) нам удалось найти каким-либо методом, например графически. Опишем итерационный процесс, позволяющий при определенных условиях уточнить решение системы. Для этого исходную систему запишем в виде

Последовательные уточнения решения системы производятся по формулам:

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой области R {a  x  A; d  y  B} имеется только одно решение системы. Если:

1) функции ₁(x, y) и ₂(x, y) определены и непрерывно диффе­ренцируемы в R;

2) начальное приближение (x₀, y₀) и все последующие при­бли­жения (x_n, y_n) принадлежат R;

3) в R выполняются неравенства:

то процесс последовательных приближений сходится к точному решению системы.

Замечание. Теорема остается верной, если неравенства заменить следующими:

Оценка точности n-го приближения определяется неравенством:

,

где M = max {q₁, q₂}. Условие прекращения итераций:

Если тогда . В этом случае условие прекращения итераций будет иметь вид x_n – x_n-1 + y_n – y_n-1  .

Задание. Методом итераций с точностью  = 0,001 решить сис­тему, приведенную в лабораторной работе № 10.