Лабораторная работа № 27 Метод дробления шага

В методе дробления шага вычислительный процесс протекает следующим образом. Выбирается некоторое начальное значение Затем выбирается некоторое значение _k =  = const. Сле­дую­щее значение вектора решения определяется по формуле

(k = 0,1,2,...).

Процесс движения по данному направлению производится с шагом  до тех пор, пока будет выполняться соотношение f() < f(). Если это условие не выполняется, то шаг  уменьшается в несколько раз и из точки (отступаем на два шага назад) снова пытаемся продвигаться в том же направлении и т. д. Затем направление изменяется, и снова с начальным шагом пытаемся продвигаться в измененном направлении. Аналогичным способом производится дробление шага. Процесс решения задачи заканчивается таким же образом, как и в методе наискорейшего спуска.

Пример. Найти минимум функции

f(x₁,x₂)=2x₁ - 3x₂ + exp(x₁² + x₂⁴).

Решение. Задачу решим методом дробления шага. Возьмем  = 0,001. В качестве начального выберем вектор ⁽⁰⁾ = (0; 0). В нашем случае

grad f = + grad

 grad   3,60555.

Составим функцию

которую нужно минимизировать по параметру . В нашем случае

x₁ -  = x₁ - (2 + 2x₁ exp(x₁² + x₂⁴)),

x₂ -  = x₂ - (-3 + 4x₂³exp(x₁² + x₂⁴)).

Применяя метод дробления шага при начальном значении  = 0 и начальном шаге, равном 0,1, а при следующих итерациях уменьшая его в десять раз, получим:

 = 0,2526; Ф() = = -1,4880;

= (0-0,25262; 0+0,25263) = (-0,5052; 0,7578).

Исходя из точки = (-0,5052; 0,7578) выполняем следующие ша­ги решения задачи. Результаты вычислений занесены в табл. 5. Можно считать, что минимум функции достигается в точке = (-0,547; 0,743) и равен - 1,493638.

Таблица 5

k
0	(0; 0)	1	2	-3	3,60555
1	(-0,5052; 0,7578)	-1,4880	0,18634	0,12455	0,22413
2	(-0,53524; 0,73772)	-1,492828	0,082972	-0,124028	0,149222
3	(-0,540326; 0,745323)	-1,493519	0,029861	0,019288	0,035548
4	(-0,545178; 0,742189)	-1,493622	0,011953	-0,018324	0,021872
5	(-0,545895; 0,743288)	-1,493636	0,004188	0,002696	0,004983
6	(-0,546532; 0,742878)	-1,493638	0,001814	-0,002198	0,002850
7	(-0,546647; 0,743018)	-1,493638	0,000683	0,000563	0,000885

Задание. Методом дробления шага найти минимум функ­ции где k — но­мер фамилии студента в журнале преподавателя. Значения х₁ и х₂, в которых функция достигает минимума, найти с точностью  = 0,0001. Начальное приближение найти методом случайного поис­ка.