§4 Теоремы о проекциях вектора
Определение
4.1.
Рис. 3
Углом между вектором
и осью
называется наименьший угол
между
направлением вектора
и положительным направлением
оси
,
обозначается
.
|
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.
|
Доказательство.
|
Замечание (о направляющих косинусах вектора).
Косинусы
углов
,
и
,
которые вектор
образует с координатными осями Ox,
Oy
и
Oz,
называются направляющими
косинусами
вектора
a
(рис.
4.2).
Выведем
свойство направляющих косинусов при
условии, что
,
,
–
проекции вектора
на координатные оси.
|
|
|
Теорема 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т.е. пр
|
Доказательство:
|
пр
пр
.
Аналогично можно доказать и другие теоремы:
Теорема 3.
При умножении вектора
на число
его проекция на ось также умножается
на это число, т.е.
.
Теорема 4. Для того чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны.
|
Пример 1. Найти
координаты вектора
|
Решение.
|
и его длину, если известны координаты
его начала
и конца
– (рис. 2.4.4).
|
Пример 2. Даны точки A(1, –2,2) и B(4, 0,–3) (рис 2.4.5) Найти: 1.
Координаты вектора
2.
Длину вектора
3.
Разложение вектора
4.Направляющие косинусы вектора; 5.
Единичный вектор (орт), соответствующий
вектору
|
Решение.
|
;
;
на составляющие;
.
|
Пример 3.
Д
B
(1, 0, -2) C
(,,) |
Решение.
|
и координаты точек
,
.
Найти координаты вектора
.
(рис. 2.4.6)
|
Пример 4. Выяснить,
при каких значениях параметров
(,,) |
Решение.
|
и
векторы
и
коллинеарны.