
III. Уравнения гиперболического типа
Задачу Коши для однородного волнового уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
,
можно решить, используя формулу Даламбера
.
Формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения с неоднородными начальными условиями имеет вид:
.
Решение краевой задачи имеет вид
,
где -
;
.
Вариант №1
Решить задачу Коши:
-
.
-
;
,
.
-
.
-
Решить граничную задачу:
-
.
6.
Вариант №2
Решить задачу Коши:
-
.
-
;
,
.
-
.
-
;
,
.
Решить граничную задачу:
-
.
6.
.
Вариант №3
Решить задачу Коши:
-
;
,
.
-
;
,
.
-
.
-
Решить граничную задачу:
5.
.
6.
Вариант №4
Решить задачу Коши:
-
.
-
;
,
.
-
.
-
Решить граничную задачу:
5.
.
6.
.
Вариант №5
Решить задачу Коши:
-
.
-
;
,
.
-
.
-
;
,
.
Решить граничную задачу:
5.
.
6.
.
IV. Уравнения параболического типа
Задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.
,
удовлетворяющего неоднородному начальному условию
,
можно решить, используя формулу Пуассона
.
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности
,
удовлетворяющее неоднородному начальному условию
,
определяется формулой
.
Решение однородного линейного параболического уравнения
,
удовлетворяющее при t=0 начальному условию
,
и однородным граничным условиям вида
определяется формулой
,
где
.
Решение однородного линейного параболического уравнения
,
удовлетворяющее при t=0 начальному условию
,
и однородным граничным условиям вида
определяется формулой
,
где
.
Решение однородного линейного параболического уравнения
,
удовлетворяющее при t=0 начальному условию
,
и однородным граничным условиям вида
определяется формулой
,
где
,
Значения
являются действительными положительными
корнями трансцендентного уравнения:
.
Решение задачи для неоднородного уравнения теплопроводности
,
с начальными условиями
,
и граничными условиями вида
.
Определяется формулой
где
-
,
а
определяются из значений общего вида
краевых условий-
;
;
;
.
Решение смешанной краевой задачи определяется формулой
,
где
.
Вариант №1
Решить задачу Коши:
-
;
.
-
;
-
;
;
Решить граничную задачу:
-
;
-
.
Вариант №2
Решить задачу Коши:
-
;
.
-
.
-
;
Решить граничную задачу:
-
.
5.
.
Вариант №3
Решить задачу Коши:
-
;
.
-
.
-
;
Решить граничную задачу:
-
.
-
Вариант №4
Решить задачу Коши:
-
;
.
-
.
-
.
Решить граничную задачу:
-
;
-
Вариант №5
Решить задачу Коши:
-
;
.
-
.
-
.
Решить граничную задачу:
-
.
-
.
V. Уравнения эллиптического типа
Решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге имеет вид:
-
Задача Дирихле:
,
.
или
.
-
Задача Неймана:
,
.
где С – произвольная постоянная.
-
Третья краевая задача:
,
Коэффициенты
в решениях являются коэффициентами
Фурье функции
и
определяются по формулам
Решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа вне круга имеют вид:
1. Задача Дирихле:
,
.
2. Задача Неймана:
,
.
3. Третья краевая задача:
,
Коэффициенты
в решениях являются коэффициентами
Фурье функции
и
определяются по формулам
Вариант №1
-
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
, где:
.
-
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что
.
-
Решить уравнение Лапласа в круге:
.
-
Решить уравнение Лапласа вне круга:
.
Вариант №2
-
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
, где:
.
-
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что
.
-
Решить уравнение Лапласа вне круга:
.
-
Решить уравнение Лапласа в круге:
.
Вариант №3
-
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
, где:
.
-
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что
-
Решить уравнение Лапласа вне круга:
.
-
Решить уравнение Лапласа в круге:
.
Вариант №4
-
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
, где:
.
-
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что
.
-
Решить уравнение Лапласа в круге:
.
-
Решить уравнение Лапласа вне круга:
Вариант №5
-
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
, где:
.
-
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что
-
Решить уравнение Лапласа в круге:
.
-
Решить уравнение Лапласа вне круга:
.
Методические указания составил Терещенко С.В. - заведующий кафедрой физики горных процессов и геофизики.