Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання с-8 Визначення положення центра ваги тіла

Центром ваги твердого тіла називається незмінно зв’язана з цим тілом точка, через яку проходе лінія дії рівнодійної сил ваги, що діють на частинки даного тіла, при будь-якому положенні цього тіла у просторі.

Координати центра ваги тіла визначаються формулами:

, , , (1)

де x_i ,y_i , z_i–координати точок прикладання сил ваги P_i, що діють на частинки тіла;

- сила ваги всього тіла.

Координати центрів ваги однорідних тіл

1. Центр ваги об’єму

, , , (2)

де V_i – об’єми частинок тіла;

–об’єм всього тіла.

2. Центр ваги площі (плоскої фігури)

, , (3)

де F_i – площі частинок плоскої фігури;

– площа всієї плоскої фігури.

3. Центр ваги лінії

, , , (4)

де l_i – довжини частинок лінії;

– довжина всієї лінії.

Способи визначення положення центрів ваги тіл

1. Спосіб симетрії. Якщо однорідне тверде тіло має площину, вісь або центр симетрії, то його центр ваги знаходиться відповідно або в площині симетрії, або на осі симетрії, або в центрі симетрії.

2. Спосіб розбивання на частини. Тіло розбивають на такі частини, положення центрів ваги яких відомі, а потім координати центра ваги всього тіла обчислюють за формулами (1) – (4).

3. Спосіб доповнення. Цей спосіб є частинним випадком способу розбивання на частини. Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центр ваги тіла без вирізу і вирізаної частини відомі.

4. Спосіб інтегрування.

5. Експериментальній спосіб.

При виконанні завдання С-8 будемо користуватися першими трьома способами.

Положення центрів ваги деяких однорідних тіл

Центр ваги площі трикутника знаходиться в точці перетину медіан (рис.1). ОС=2/3 ОЕ; DС=1/3 АD. Координати центра ваги площі трикутника визначають по формулі , де х1, х2, х3 – координати вершин О, А, В. Аналогічно визначають координату ус.

Положення центра ваги площі прямокутного трикутника показано на рис.2.

Центр ваги площі кругового сектора знаходиться на осі симетрії і визначається по формулі (5) Для півкруга , тоді . (6)

Приклади виконання завдання с-8

Задача 1.

Знайти положення центра ваги плоскої фігури обмеженої півколом АОВ радіуса R і двома прямими однакової довжини. АD = ВD, ОD = 3R, О₁D=2R.

Розв’язання Плоска фігура має вісь симетрії. Центр ваги цієї плоскої фігури буде знаходитись на осі симетрії Ох. Координату хс центра ваги площі знайдемо по формулі (3) . (1)

Щоб скористатися цією формулою розіб’ємо плоску фігуру на дві частини – півкруг і трикутник, положення центрів ваги яких легко визначити.

1. Півкруг AОВ

. Дивись рис.3 і формулу (6).

2. Трикутник АВD

.

Підстановка в розрахункову формулу (1):

Відповідь: х_с=ОС = 1,2 R.

Задача 2.

Знайти положення центра ваги плоскої фігури з круглим отвором. Розміри на рисунку задані в сантиметрах.

Розв’язання.

Плоска фігура має вісь симетрії. Центр ваги цієї плоскої фігури буде знаходитися на осі симетрії Ох. Координату х_с центра ваги площі знайдемо по формулі (3)

. (1)

Щоб скористатися цією формулою розіб’ємо плоску фігуру на дві частини – суцільний прямокутник і круг (виріз), положення центрів ваги яких відомо.

1. Суцільний прямокутник

см² см.

2. Круг (виріз)

см². Площу круга, вирізаного з прямокутника, вважаємо від’ємною. см.

Підстановка результатів в розрахункову формулу (1):

см.

Відповідь: х_с=ОС=4,4 см.

Задача 3.

Знайти положення центра ваги об’єму. Розміри на рисунку задані в сантиметрах.

Розв’язання Площин симетрії немає. Координати центра ваги об’єму знайдемо по формулам (2). Щоб скористатися цими формулами розіб’ємо об’єм на дві частини – прямокутний паралелепіпед і трикутну призму. Тоді розрахункові формули (2) будуть мати вид: (1)

1. Прямокутний паралелепіпед має три площини симетрії. Його центр ваги знаходиться в точці перетину трьох площин симетрії

см³, см, см, см.

2. Трикутна призма має одну площину симетрії, паралельну до площини уОz . Центр ваги буде знаходитися в цій площині. Далі дивись рис.2 на стор.

см³, см, см, см.

Підстановка в розрахункові формули (1):

см, см,

см.

Відповідь: С(1,9; 3,1; 2,9).

Задача 4.

Знайти положення центра ваги плоскої ферми, що складається з тонких однорідних стержнів однакової погонної ваги. Розміри на рисунку задані в метрах.

Розв’язання Осей симетрії немає. Координати центра ваги ферми знайдемо по формулам (4), що визначають координати центра ваги лінії: (1)

Центр ваги кожного стержня ферми знаходиться в його геометричному центрі, тобто на осі симетрії. Усі розрахункові дані занесемо в таблицю.

№ стержня
1	2	1	0	2	0
2		1	1
3	2	2	1	4	2
4	2	3	2	6	4
5		3	1
6	2	3	0	6	0
7	2	4	1	8	2
Σ	15.6	-	-	37.3	13.7

По формулам (1) знаходимо координати центра ваги плоскої ферми

м, м.

Відповідь: Центр ваги ферми показаний на рисунку. С(2,4; 0,9).

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,

необхідні для виконання завдання К-1

Визначення швидкості і прискорення точки

по заданим рівнянням її руху

Кінематика точки

Рух точки вважається заданим, якщо відомий спосіб, за допомогою якого можна визначити положення точки відносно вибраної системи відліку в кожен момент часу. Існують три способи задання руху точки: векторний, координатний і природний.

Векторний спосіб задання руху точки

рис.1

Точка М рухається відносно нерухомої системи координат Охуz (рис.1). Положення точки М в будь-який момент часу визначає радіус-вектор , проведений з точки О в точку М. При русі точки М змінюється модуль і напрям вектора . Отже, радіус - вектор є функцією часу t: (1) Рівняння (1) називається кінематичним рівнянням руху точки у векторній формі. Кінець радіус-вектора описує просторову криву, яка є траєкторією точки.

2. Траєкторією точки називають неперервну лінію, яку описує рухома точка відносно даної системи відліку. Рух точки називають прямолінійним, якщо траєкторія – пряма лінія і криволінійним – якщо траєкторія – крива лінія.

3. Швидкістю точки називають векторну величину, яка характеризує бистроту і напрям руху точки в даній системі відліку. Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від радіус-вектора точки за часом.

(2)

Вектор швидкості точки в даний момент часу напрямлений по дотичній до траєкторії в сторону руху точки.

4. Прискоренням точки називають векторну величину, яка характеризує зміну з часом модуля і напряму вектора швидкості точки. Вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіус-вектора точки за часом

(3)

Вектор прискорення точки лежить в стичній площині і спрямований в бік вгнутості траєкторії.