2. Границя функції і арифметичні операції

Теорема 3. Нехай для функцій _{і : , . Тоді}

1. _;

2. _;

3. _.

_{Доказ теореми витікає з аналогічної теореми для послідовностей і визначення границі функції за Гєйне. Доведемо для прикладу пункт 2.}

_{Оскільки за умовою теореми , , то за визначенням границі функції за Гєйне це буде означати, що для , для якої виконуються умови:}

_{1) для} ;

2)

_{відповідні послідовності значень функцій і є збіжними і , а . Оскількі і - збіжні, то за теоремою 6 лекції 2 послідовність також буде збіжною і .}

_{Ми отримали, що що для , для якої виконуються умови 1,2, відповідна послідовність значень є збіжною і . За визначенням границі функції за Гєйне з цього витікає, що , що й потрібно було довести.}

3. Критерій існування границі функції

Визначення 4. Кажуть, що функція _{задовольняє умові Коші в точці , якщо для таке, що для виконується нерівність:}

_.

Геометрично умова Коші для _{в точці означає, що яким би малим не було число , завжди можна знайти такий окіл точки , що для аргументів з цього околу відстань між відповідними значеннями функції буде меншою за .}

_{Умова Коші для функції в точці є аналогом фундаментальності для числової послідовності.}

Теорема 4 (критерій Коші збіжності функції в точці). Для того, щоб функція _{мала границю в точці , необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші в цій точці. (без доказу).}

4. Однобічні границі функції однієї зміної

Нехай _.

_{Визначення 5. Правим (лівим) напівоколом точки називається інтервал (), де .}

_{Нехай функція визначена в деякому правому напівоколі точки .}

_{Визначення 6. Число називається границею функції в точці справа (чи правобічною границею) і позначається}

_,

_{якщо для таке, що для виконується нерівність:}

_.

_{Визначення 7. Число називається границею функції в точці зліва (чи лівобічною границею) і позначається}

_,

_{якщо для таке, що для виконується нерівність:}

_.

_{Лівобічна і правобічна границі разом називаються однобічними границями.}

_{Якщо , то в позначенні однобічних границь пишуть не , , а}

_{, .}

Приклад. Нехай _{. Знайти однобічні границі функції в точці .}

_{При обчисленні лівобічної (правобічної) границі в точці поведінка функції, її значення, її формула розглядаються зліва (справа) від .}

_{Почнемо з правобічної границі. Будь-який правобічний окіл точки містить у собі тільки додатні значення , для яких , а , тоді}

_,

_{оскільки границя сталої, незалежно від того, куди прямує , дорівнює їй самій.}

_{Будь-який лівобічний окіл точки містить у собі тільки від’ємні значення , для яких , а , тоді}

_.

_{Отримані однобічні границі мають різні значення. Графік функції представлений на рис.5. Зрозуміло, що не існує.}

_{Теорема 5 (критерій існування границі функції). Для того, щоб функція мала границю в точці необхідно і достатньо, щоб у цій точці існували обидві однобічні границі, і вони були рівні.}

_{Доказ. Необхідність. Нехай існує . За визначенням границі функції за Коші це означає, що для таке, що для виконується нерівність: . Умова (**) виконується тоді, коли виконується умова (*). Умова (*) означає, що , тобто} , може знаходитись як справа (умова _{(**) виконується)}, так і зліва (умова _{(**) виконується)} від , (рис.6).

Рис.6.

Виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що _{, а} виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що _{, що й потрібно було довести.}

_{Достатність. Нехай існують . З існування правобічної границі за визначенням 6 випливає, що для таке, що для виконується нерівність:}

_.

_{З існування лівобічної границі за визначенням 7 випливає, що для таке, що для виконується та ж сама нерівність:}

_.

Позначимо: _{. Якщо} задовольняє умові: _{, то він обов’язково опиниться чи в правому, чи в лівому визначених вище напівоколах точки , а тому буде мати місце нерівність . Таким чином,}

_{для , що буде виконуватися: , а це означає, що , що й потрібно було довести.}

_{Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція (графік представлений на рис.6).}

_{Знайдемо однобічні границі функції в точці :}

_.

_{Оскільки}

_,

_{то за попередньою теоремою}

_.

_{Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція .}

_{Почнемо з обчислення правобічної границі:}

_.

_{Оскільки правобічна границя функції в точці не існує, то за попередньою теоремою не існує і .}