2. Предел функции и арифметические операции

Теорема 3. Пусть для функций _{и : , . Тогда}

1. _;

2. _;

3. _.

_{Доказательство теоремы вытекает из аналогичной теоремы для последовательностей и определения предела функции по Гейне. Докажем для примера пункт 2.}

_{Поскольку по условию теоремы , , то по определению предела функции по Гейне это будет означать, что для , для которой выполняются условия:}

_{1) для} ;

2)

_{соответствующие последовательности значений функции и являются сходящимися и , а . Поскольку и - сходящиеся, то по теореме 6 лекции 2 последовательность также будет сходящейся и .}

_{Мы получили, что для , для которой выполняются условия 1,2, соответствующая последовательность значений является сходящейся и . По определению предела функции по Гейне из этого вытекает, что , что и нужно было доказать.}

3. Критерий существования предела функции

_{Определение} 4. Говорят, что функция _{удовлетворяет условию Коши в точке , если для такое, что для выполняется неравенство:}

_.

Геометрически условие Коши для _{в точке означает, что каким бы малым не было число , всегда можно найти такую окрестность точки , что для аргументов из этой окрестности расстояние между соответствующими значениями функции будет меньше .}

Условие Коши _{для функции в точке является аналогом фундаментальности для числовой последовательности.}

Теорема 4 (критерий Коши сходимости функции в точке). Для того, чтобы функция _{имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в этой точке. (без доказательства).}

4. Односторонние пределы функции одной переменной

Пусть _.

_{Определение 5. Правой (левой) полуокрестностью точки называется интервал (), где .}

_{Пусть функция определена в некоторой правой полуокрестности точки .}

_{Определение 6. Число называется пределом функции в точке справа (или правосторонним пределом) и обозначается}

_,

_{если для такое, что для выполняется неравенство:}

_.

_{Определение 7. Число называется пределом функции в точке слева (или левосторонним пределом) и обозначается}

_,

_{если для такое, что для выполняется неравенство:}

_.

_{Левосторонний и правосторонний предел вместе называют односторонними пределами.}

_{Если , то в обозначении односторонних пределов пишут не , , а}

_{, .}

_Пример. Пусть _{. Найти односторонние пределы функции в точке .}

_{При вычислении левостороннего (правостороннего) предела в точке поведение функции, ее значения, ее формула рассматриваются слева (справа) от .}

_{Начнем с правостороннего предела. Любая правосторонняя окрестность точки содержит в себе только положительные значения , для которых , а , тогда}

_,

_{поскольку предел постоянной, независимо от того, куда стремится , равняется ей самой.}

_{Любая левосторонняя окрестность точки содержит в себе только отрицательные значения , для которых , а , тогда}

_.

Полученные односторонние пределы имеют разные значения_{. График функции представлен на рис.5. Понятно, что не существует.}

_{Теорема 5 (критерий существования предела функции). Для того, чтобы функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела, и они были равны.}

_{Доказательство. Необходимость. Пусть существует . По определению предела функции по Коши это означает, что для такое, что для выполняется неравенство: . Условие (**)выполняется тогда, когда выполняется условие (*). Условие (*) означает, что , т.е.} , может находиться как справа (условие (**) выполняется), так и слева (условие (**) выполняется) от , (рис.6).

Рис.6.

Выполнение (**), когда , свидетельствует по определению, что _{, а} выполнение (**), когда , свидетельствует по определению, что _{, что и нужно было доказать.}

_{Достаточность. Пусть существуют . Из существования правостороннего предела по определению 6 вытекает, что для такое, что для выполняется неравенство:}

_.

_{Из существования левостороннего предела по определению 7 вытекает, что для такое, что для выполняется то же самое неравенство:}

_.

Обозначим: _{. Если} удовлетворяет условию: _{, то он обязательно окажется или в правой, или в левой определенных выше полуокрестностях точки , а потому будет иметь место неравенство . Таким образом,}

_{для , что будет выполняться: , а это означает, что , что и нужно было доказать.}

_{Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция (график представлен на рис.6).}

Найдем односторонние пределы функции в точке _:

_.

_{Поскольку}

_,

_{то по предыдущей теореме}

_.

_{Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция .}

_{Начнем с вычисления правостороннего предела:}

_.

_{Поскольку правосторонний предел функции в точке не существует, то по предыдущей теореме не существует и .}