§2. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.

Пусть задана точка

Определение 5.

Задачей Коши для уравнения, разрешенного относительно производной, называется задача

(2)

Которая формулируется следующим образом:

найти решение уравнения , которое удовлетворяет условию . Условие называется начальным условием, а пара чисел называется начальными данными или данными Коши.

Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

Решение задачи Коши может быть записано (с учётом начального условия):

• в явном виде:

• в неявном виде:

• в параметрической форме:

Отметим также, что решение задачи Коши (2) является частным решением уравнения (1).

Пример.

Решить задачу Коши:

Ранее было получено общее решение . Используя начальное условие, получаем . Отсюда - решение данной задачи Коши.

§3. Обобщение понятия оду.

Пусть функции P (x, y), Q (x, y) определены в области . Выражение

P (x, y) dx + Q (x, y) dy называется дифференциальной формой первого порядка.

Определение 6.

Уравнение вида P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1’)

будем называть уравнением в дифференциальной форме или уравнением в дифференциалах.

Уравнение вида (1) предполагает, что x - независимая переменная, а y (x) - является функцией x, оно сводится к виду (1’) домножением на dx и переносом в левую часть.

Уравнение вида (1’) рассматривает x и y как равноправные переменные, оно сводится к виду (1), если функция Q (x, y) не равна 0 в области , надо разделить уравнение на Q (x, y) dx.

§4. Уравнение с разделяющимися переменными.

Определение 7.

ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида или в дифференциальной форме

Теорема 1.

Если в уравнении функции , , причём в прямоугольнике функции,

то задача Коши

(3)

имеет решение и притом единственное.

Заметим, что в случае, если , то уравнение переписывается в виде:

.

Если теперь ввести обозначения и , то уравнение переписывается в виде , и задача (3) приобретает стандартный вид задачи Коши (2).

Доказательство.

1 Этап (нахождение общего решения уравнения)

Перепишем уравнение в виде:

, (*)

и далее воспользуемся условием , которое позволит нам поделить последнее равенство на . Получим:

. (**)

Поскольку, по условию, все функции непрерывны, а функции, стоящие в знаменателях еще и отличны от нуля, то существуют первообразные и функций и , соответственно. Для них равенство (**) переписывается так:

(***)

Но если равны дифференциалы функций, то сами функции могут отличаться только на константу, то есть

(!)

Равенство (!) представляет собой запись общего решения исходного уравнения , а равенство – запись его общего интеграла.

2 Этап (нахождение решения задачи Коши)

Поскольку все решения нашего уравнения могут быть записаны в виде (!), то и частное решение, которое удовлетворяет условию Коши , если оно существует, должно, при некотором значении константы иметь тот же вид (!). Чтобы найти подходящее значение , подставим в (!) условие Коши. Получим:

. (!!)

Тут важно заметить, что каково бы ни было начальное условие, т.е. , константа , удовлетворяющая (!!), всегда существует и притом определяется единственным образом. Поэтому существует и притом единственное решение исходной задачи Коши (3), и оно задается формулой

.

Замечание.

В уравнении (*) как в левой, так и в правой частях есть функции, зависящие от , и функции, зависящие от . В то же время при переходе к (**) мы добились, чтобы в левой части встречалась только переменная , а в правой – только . Этот процесс носит название разделения переменных.

Пример.

Решить уравнение с разделяющимися переменными . Для разделения переменных обе части уравнения разделим на . Чтобы не потерять решение, необходимо проверить, являются ли корни , решениями исходного уравнения. Для этого рассмотрим 3 случая:

1) , т.е. , подставляем в исходное уравнение и получаем решение.

2) , , т.е. , подставляем в исходное уравнение и получаем решение.

3) , тогда , или , где . Потенцируя уравнение, получаем: , , где .

Запишем: , , , . Т.к. решение получается из решения при , то допустив, что может принимать значение, равное нулю, получаем окончательно: , , где - любое.

§5. Однородные уравнения.

Определение 0.1.

Функция называется однородной функцией степени , если справедливо .

Определение 0.2.

Однородным уравнением называется уравнение вида , где , - однородные функции одной и той же степени.