1.2.2. Теплопроводность

Выравнивание температуры в изолированной системе происходит в результате теплообмена. Теплообмен – это самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в среде с неоднородным температурным полем.

Перенос теплоты происходит за счет теплопроводности, конвекции, излучения или комбинации этих способов. Теплопроводность  перенос теплоты, обусловленный неоднородным распределением температуры, посредством движения микрочастиц в среде.

Теплопроводность является единственным видом теплопередачи в непрозрачной твердой среде. Если в такой среде существует градиент температуры, тепло переносится из высокотемпературной области в низкотемпературную. Скорость переноса тепла вследствие теплопроводности (кондуктивный тепловой поток ) пропорциональна изменению температуры dT/dx и площади поверхности А, через которую идет поток тепла (рис. 1.6, а), или

где Т – температура; х – направление теплового потока.

Действительная скорость переноса тепла зависит от теплофизической характеристики среды . Следовательно, скорость переноса тепла можно выразить количественно соотношением

(1.22)

Знак минус в (1.22) обусловлен вторым законом термодинамики, согласно которому тепло должно переноситься в направлении снижения температуры. Величина dT/dx будет отрицательной, если температура снижается в направлении возрастания х (рис. 1.6, б, где 1 – профиль температуры; 2 – градиент температуры dT/dx). Если считать тепло, переносимое в направлении оси х, положительной величиной, необходимо в правой части соотношения (1.22) поставить знак минус. Соотношение (1.22), представленное в виде есть закон теплопроводности Фурье в одномерном представлении. Здесь – плотность потока теплопроводности. Если площадь выражена в квадратных метрах, температура – в кельвинах, а тепловой поток – в ваттах, то измеряется в Вт/(мК).

а б

Рис. 1.6.

Таким образом, теплообмен – это самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в среде с неоднородным температурным полем.

Предел отношения изменения температуры между изотермами, характеризующими температурное поле, к расстоянию между изотермами по нормали определяет величину вектора, который называют градиентом температуры. Он направлен в сторону возрастания температуры. Таким образом,

где – единичный вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры.

Согласно предположению Фурье, тепловой поток через элемент изотермической поверхности в окрестности заданной точки определяется значением температурного градиента в рассматриваемой точке. Опытные данные показали, что плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры, т. е. вектор плотности теплового потока определяется соотношением

(1.23)

где – коэффициент пропорциональности, именуемый теплопроводностью или коэффициентом теплопроводности.

Это равенство составляет содержание основного закона теплопроводности Фурье в трехмерном представлении. Составляющие градиента температуры по осям прямоугольной системы координат равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы (орты), направленные по осям прямоугольной системы координат.

Коэффициент теплопроводности – это характеристика материала, входящая в соотношение (1.23). Его нельзя рассчитать теоретически (исключение составляют лишь газы при низких температурах). Поэтому имеющиеся сведения о коэффициентах теплопроводности различных материалов основаны на экспериментальных данных. В общем случае коэффициент теплопроводности материала зависит от температуры, но во многих практических задачах можно получить достаточно точные результаты, применяя постоянное значение при средней температуре системы. В табл. 1.1 указаны типичные значения коэффициента теплопроводности для некоторых металлов, неметаллических твердых веществ, жидкостей и газов, чтобы проиллюстрировать порядок величин , ожидаемых на практике.

Таблица 1.1

Материал	, Вт/(мК)	Материал	, Вт/(мК)
Медь	386	Этиленгликоль	0.25
Алюминий	204	Масло моторное	0.15
Сталь	54	Фреон (жидкий)	0.07
Стекло	0.75	Водород	0.18
Пластик	0.25	Воздух	0.03
Вода	0.60	Кирпич изоляционный	0.12

Механизм теплопроводности в газах можно качественно объяснить с помощью кинетической теории. Все молекулы газа находятся в хаотическом движении и обмениваются энергией и импульсом при столкновениях друг с другом. Чем выше температура газа, тем больше кинетическая энергия молекул, поэтому молекула, движущаяся из высокотемпературной области в низкотемпературную, переносит кинетическую энергию на молекулярном уровне в область низкой температуры. При столкновении с молекулой, обладающей меньшей кинетической энергией, происходит передача энергии, которая с макроскопической точки зрения и является переносом тепла.

Согласно кинетической теории газов, для идеального газа, состоящего из сферических молекул диаметром d, справедливо следующее выражение для (при , где – средняя длина свободного пробега молекулы, L – характерный размер термодинамической системы, например, радиус шара или цилиндра, наименьшее ребро параллепипеда и т. п.)

(1.24)

где – плотность газа; – теплоемкость единицы массы газа при постоянном объеме; – средняя скорость движения молекул. С увеличением давления в равной мере увеличивается плотность газа и уменьшается длина свободного пробега молекул, так что произведение в (1.24) остается постоянным и коэффициент теплопроводности газа практически не зависит от давления. Теплоемкость газа возрастает с повышением температуры. Следовательно, газа также увеличивается с ростом температуры.

Коэффициент теплопроводности различных газов лежит в пределах от 0.06 до 0.6 Вт/(мК). Среди газов резко выделяются повышенным коэффициентом теплопроводности гелий и водород. Этот факт можно, по-видимому, объяснить относительно малой массой молекул гелия и водорода и, как следствие, повышенной скоростью их движения.

В случае газа, состоящего из многоатомных молекул, существенный вклад в вносят внутренние степени свободы молекул.

Для газовых смесей коэффициент теплопроводности не может быть определен по законам аддитивности, т. е. теплопроводность – нелинейная функция состава. Согласно результатам упрощенного расчета, основанного на кинетической модели обмена, коэффициент теплопроводности газов пропорционален квадратному корню из абсолютной температуры.

Физический механизм теплопроводности в капельных жидкостях качественно аналогичен описанному, но поскольку молекулы в жидкостях расположены ближе друг к другу и их силовые поля играют существенную роль при переносе энергии путем соударений, картина явления еще сложнее, чем в газах.

В плотных газах и в жидкостях среднее расстояние между молекулами сравнимо с размерами самих молекул, а кинетическая энергия движения молекул того же порядка, что и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. В связи с этим перенос энергии столкновениями происходит значительно интенсивнее, чем в разреженных газах. Скорость передачи энергии молекул от горячих слоев жидкости к более холодным близка к скорости распространения малых возмущений давления P, равной скорости звука, т. е.

(1.25)

где – скорость звука в жидкости; – среднее расстояние между молекулами. Формула (1.25) лучше всего выполняется для одноатомных жидкостей.

Как правило, теплопроводность жидкостей слабо возрастает с увеличением давления и убывает с ростом температуры, за исключением воды и глицерина (рис. 1.7, где 1 – вода; 2 – глицерин; 3 – бензол; 4 – легкое масло; 5 – фреон-12; 6 – воздух; 7 – водород; 8 – гелий; 9 – кислород; 10 – углекислый газ).

Т

Рис. 1.7

еплопроводность твердых тел имеет различную природу в зависимости от типа твердого тела. В диэлектриках, не имеющих свободных электрических зарядов, перенос энергии теплового движения осуществляется фононами – квантами колебательной энергии. Если – некая возможная частота колебаний атома, то минимальная возможная порция колебательной энергии равна , где – постоянная Планка. Если в кристалле N атомов, то число возможных частот собственных колебаний атомов не может превышать 3N.

У твердых диэлектриков

(1.26)

где – теплоемкость диэлектрика, совпадающая с теплоемкостью газа фононов; – средняя скорость фононов, равная приблизительно скорости звука; – средняя длина свободного пробега фононов, имеющая конечное значение вследствие рассеяния фононов на фононах, дефектах кристаллической решетки (в частности, на границах кристаллов и на границе образца). Температурная зависимость , согласно (1.26), определяется зависимостью от температуры, и .

Теплопроводность металлов определяется движением и взаимодействием электронов проводимости. В общем случае для металла где и – электронная и решеточная фононная составляющие. При обычных температурах, как правило, . Теплопроводность металлов пропорциональна его электропроводности (закон Видемана–Франца): где – электропроводность металла; e – заряд электрона; k – постоянная Больцмана.

Н

Рис. 1.8

а рис. 1.8 представлены зависимости коэффициентов теплопроводности распространенных металлов и сталей от температуры, где 1 – медь; 2 – алюминий; 3 – углеродистая сталь; 4 – нержавеющая сталь. У полуметаллов Bi (висмута) и Sb (сурьмы) сравнима с , что связано с малостью числа свободных электронов в них.

Явление переноса теплоты в полупроводниках сложнее, чем в диэлектриках и металлах, так как для них существенны и и , а также в связи со значительным влиянием на примесей, процессов биполярной диффузии, переноса экситонов и других факторов.

Материалы с применяются для теплоизоляции. В луч-ших теплоизоляторах высокая эффективность теплоизоляции достигается за счет пористой структуры, заполненной газом. В таких материалах перенос тепла может осуществляться несколькими способами: за счет теплопроводности через волокнистый или пористый материал; за счет теплопроводности и/или конвекции через воздух в порах и радиационным теплообменом между элементами структуры твердого материала, что особенно важно при высоких температурах или в условиях вакуума. Для использования в криогенных установках при очень низких температурах (до 25 К) разработаны специальные типы материалов с повышенными теплоизоляционными свойствами. Такая суперизоляция состоит из ряда слоев хорошо отражающего материала, разделенных вакуумированными промежутками, чтобы свести к минимуму теплопроводность и конвекцию. Эффективный коэффициент теплопроводности такой изоляции может достигать очень низких величин – порядка .