1.1.3. Уравнения Максвелла

Физическая сущность уравнений Максвелла лучше раскрывается при представлении их в интегральной форме.

Первым уравнением Максвелла является закон полного тока, устанавливающий связь между электрическим током i и напряженностью магнитного поля H:

(1.14)

Максвелл распространил закон (1.14) на полный ток. В первом уравнении Максвелла в правой части содержатся все виды тока, включая ток смещения в пустоте. Принято считать три вида электрического тока:

– ток проводимости, плотность которого пропорциональна напряженности электрического поля;

– ток переноса, плотность которого определяется скоростью движения свободных электрически заряженных частиц;

– ток смещения, плотность которого пропорциональна скорости изменения напряженности электрического поля.

Вторым уравнением Максвелла является закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем, определяющий электрическое поле, которое возникает при изменении во времени магнитного поля. Максвеллу принадлежит заслуга обобщения этого закона на случай любой среды, в частности, это может быть лишь мысленный контур, находящийся целиком в пустоте.

(1.15)

Теорема Гаусса в применении к электрическому полю имеет вид:

(1.16)

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды внутри замкнутой поверхности S; q – заряд внутри замкнутой поверхности S. Таким образом, интеграл напряженности электрического поля, взятый по замкнутой поверхности S, в случае однородной изотропной среды является мерой электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности.

Теорема Гаусса в виде (1.16) не применима для неоднородной и анизотропной среды. Согласно постулату Максвелла, используя поток вектора электрического смещения (или индукции электрического поля) D, теорему Гаусса можно записать в виде

(1.17)

Принцип непрерывности магнитного потока утверждает, что линии магнитной индукции B, которая определяется как

(1.18)

нигде не имеют ни начала, ни конца – они всюду непрерывны. Здесь – относительная и Гн/м – абсолютная магнитная проницаемость.

Поэтому сквозь любую замкнутую поверхность магнитный поток равен нулю, т. е.

(1.19)

Принцип непрерывности электрического тока заключается в том, что полный ток – проводимости, переноса и смещения, проходящий сквозь любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, равен нулю:

(1.20)

При исследовании электромагнитного поля в системах высокочастотного нагрева все величины, характеризующие его, должны быть определены в каждой точке нагреваемой среды и окружающего пространства. Интегральная форма уравнений и постулата Максвелла для этих целей не пригодна. Нужна дифференциальная форма этих уравнений.

Для нахождения дифференциальной формы первого уравнения Максвелла (1.14) выделим малую поверхность на поверхности S и определим плотность тока в точке A (рис. 1.2). Линейный интеграл напряженности, взятый по малому контуру, ограничивающему , равен малому току , проходящему сквозь эту поверхность:

Величина зависит от размеров поверхности Разделим обе части последнего выражения на и, чтобы получить вполне определенную величину, найдем предел, к которому стремится отношение.

Правая часть равенства – составляющая вектора плотности тока по направлению нормали к поверхности S в точке A (рис. 1.2):

Левая часть равенства – проекция на направление нормали к поверхности S в точке A ротора вектора H

Если элемент поверхности расположить так, чтобы положительная нормаль в точке A совпала с направлением вектора плотности тока, то в правой части будет вектор плотности тока, а в левой – вектор ротора:

Аналогичным путем можно найти дифференциальные формы второго уравнения (рис. 1.3) и постулата Максвелла, а также принципов непрерывности магнитного потока и тока:

Рис. 1.2. Рис. 1.3

Вывод последних четырех соотношений предлагается читателю выполнить в качестве упражнения по теме.

Если к этим уравнениям добавить расшифровку плотности тока связь между напряженностями и индукциями а также закон Ома в дифференциальной форме то получим полную систему уравнений электромагнитного поля. Здесь – электропроводность среды.

В случае индукционного нагрева проводниковых материалов током смещения пренебрегают из-за его малости по сравнению с током проводимости. В качестве обобщения приведенного материала приводятся полученные из (1.14)–(1.20) уравнения Максвелла в дифференциальной форме, которые используются для моделирования физики процессов индукционного нагрева проводниковых материалов:

(1.21)

Уравнение, определяющее принцип непрерывности линий тока, для системы (1.21) является избыточным, поскольку так как для любого вектора расхождение его вихря тождественно равно нулю.

В ряде случаев вместо системы (1.21) уравнений первого порядка удобнее решать уравнение второго прядка относительно напряженности магнитного поля Если для кусочно-непрерывной среды в пределах непрерывности считать и постоянными, то можно записать:

Таким образом, получаем искомое уравнение

Аналогичным образом можно получить уравнение относительно напряженности электрического поля. Эту задачу предлагается читателю решить самостоятельно.

Объемные плотности энергии электромагнитного поля определяются с помощью выражений (1.10), (1.11) и (1.13) для локальной формы закона Джоуля–Ленца.

Если ставится задача с учетом сторонних сил, то в последнем уравнении системы (1.21), отражающем закон Ома в дифференциальной форме, и в уравнении для объемной плотности источников тепла к E следует добавить стороннюю силу E^* (см. (1.13)).