19. Численные методы вычисления определённого интеграла

При решении инженерных задач часто необходимо вычислять определённый интеграл. Когда не удаётся выразить интеграл в замкнутой форме, или полученная формула сложна, или подинтегральная функция задана таблично, используют численное интегрирование. В основе численного интегрирования лежит приближенное вычисление площади под кривой, описываемой подинтегральной функцией. В общем виде задача формулируется как нахождение значения

Наиболее просты для реализации методы, для которых значения x заданы с постоянным шагом. Рассмотрим методы прямоугольников, трапеций (Ньютона-Котеса) и парабол (Симпсона). В общем виде алгоритм решения задачи состоит из шагов: 1. Интервал, на котором выполняется интегрирование [a,b], разбивается на n равных отрезков и вычисляется длина этих отрезков; 2. Криволинейные трапеция S заменяется фигурами, составленными, в зависимости от метода, из элементарных прямоугольников, трапеций, или криволинейных трапеций; 3. Вычисляются и суммируются площади S_iкаждой элементарной фигуры.

1. Метод прямоугольниковПусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Интервал, на котором выполняется интегрирование [a,b], разбивается на n равных отрезков, и криволинейная трапеция S заменяется фигурами, составленными из элементарных прямоугольников с площадями S_i.

Геометрический смысл Интегрирование методом

определённого интеграла прямоугольников

Шаг интегрирования h=(b-a)/n Площадь элементарной фигуры _i=h*y_i=h*f(x_i

Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом прямоугольников достаточно вычислить сумму значений подинтегральной функции в узлах интегрирования и умножить эту сумму на шаг интегрирования. Преимуществом метода является его простота, недостатком – сравнительно невысокая точность, для повышения которой необходимо увеличивать значение n до 1...10 тысяч. Пример: Составить программу для вычисления интеграла с заданным количеством узлов интегрирования n. Аналитическое решение даёт результат 9,0. Таким образом, при условии правильного составления программы ожидаемый результат должен быть примерно равен 9. Большое число десятичных знаков при выводе результата позволяет оценить точность метода.

Текст программы на Паскале:

Program Integral1;

Uses Crt;

Var

a,b,s,x,h:real;

I, n: integer;

Function f(xx:real):real;

begin

f:=xx*xx;{Здесь приводим выражение для вычисления функции }

end;

Begin

ClrScr;

Writeln(' Вычисление определенного интеграла');

Writeln(' Метод прямоугольников');

{ Ввод исходных данных }

a:=0; b:=3; n:=1000;

{ Начинаем расчет }

h:=(b-a)/n;

s:=0; x:=a;

for i:=1 to n do

begin

x:=x+h;

s:=s+f(x);

end;

s:=s*h;

Writeln(' Интеграл равен ', s:10:7);

Readln;

End.

2. Метод трапецийСущность интегрирования методом трапеций составляет кусочно-линейная аппроксимация подинтегральной функции. Соседние точки (x_ii,y_i) и (x_i+1,y_i+1), заданные таблицей в интервале a=₀=a, а x_n=b, то интеграл будет представлять собой сумму площадей n трапеций высотой h каждая. На рисунке показан графически принцип метода трапеций.

Расчётная формула получается следующим образом

Итоговая формула выглядит следующим образом

Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом трапеций надо вычислить сумму значений подинтегральной функции в узлах интегрирования между a и b и умножить эту сумму на шаг интегрирования. К полученному значению прибавляется полусумма значений подынтегральной функции на концах отрезка, умноженная на шаг интегрирования. Совершенно очевидно, что чем меньше интервал, через которые задаётся значение функции, тем с большей точностью будет вычислен определённый интеграл. ,

3. Метод СимпсонаПовысить точность результат вычисления определённого интеграла можно, если заменить линейную аппроксимацию, используемую в методе трапеций, кусочной аппроксимацией кривыми, например, параболой второго порядка. Для проведения каждой параболы требуется три точки. Аппроксимируя подинтегральную функцию параболами, получаем формулу Симпсона:

,

или

В этой формуле число интервалов должно быть чётное. Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом Симпсона надо вычислить отдельно суммы значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между a и b в чётных и нечётных точках. Сумма, полученная для нечётных точек умножается на 4, а сумма для чётных точек - на 2. К полученным двум суммам прибавляется сумма значений подинтегральной функции на концах отрезка. Полученный итог умножается на 1/3 шага интегрирования.

Все вышеприведённые алгоритмы вычисления определённого интеграла используется заданный шаг интегрирования. Кроме этого, существуют итерационные алгоритмы, в которых вычисления выполняются до заданной точности eрезультата. При каждой итерации количество узлов интегрирования n удваивается, а затем новый результат сравнивается с результатом, полученном на предыдущем шаге. Вычисления повторяются в цикле, пока разница между результатами не станет меньшеe.