1. Введение. Векторные и скалярные величины

Физика – это наука о неживой природе, изучающая свойства материи, её возможные изменения, законы, которые описывают эти изменения и связи между явлениями природы.

Материей называют всё , что нас реально окружает, существует вне зависимости от нашего сознания, не является плодом нашего воображения, а объективно существует.

Механика – это раздел физики, изучающий движение в пространстве и силы, вызывающие это движение.

Движение рассматривается относительно системы координат. Три взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в одной точке, называемой началом координат, образуют систему координат, предложенную французским математиком Декартом (рис.1.1) и называется декартовой системой координат.

Рис.1.1. Система координат

Основными величинами в механике являются длина, масса и время. В 1963 г. в России введена международная система единиц (СИ) . В СИ приняты следующие относящиеся к механике основные единицы : метр(м), килограмм (кг), секунда (с).

Используемые для описания физических явлений величины делят на скалярные и векторные.

Скалярными являются такие величины, для описания которых используется лишь численное значение., например: путь, масса, время, температура, объём.

Векторные величины задаются как числом (модулем) , так и направлением в пространстве, например: скорость, перемещение, сила, ускорение.

Вектор можно задать несколькими способами.

1.Через координаты начала и конца вектора (рис.1.2)

Рис.1.2 Проекции вектора на оси координат

Точка А(х_о;y_о) – начало вектора,

Точка В(х_о;y_о) – конец вектора

Пусть вектор задан точками А(х₁;у₁)и В(х₂;у₂). Найдем модуль вектора АВ, вычислив проекции вектора. (АВ)_х = х₂ – х₁

(АВ)у = у₂ – у₁

Тогда модуль вектора АВ равен АВ =

2. Через его проекции на оси координат (АВ)_х и (АВ)_у. Тогда модуль вектора АВ равен

АВ = ,

а его направление определяется через проекции вектора по формуле:

tg

3. Через модуль вектора и, например, угол φ между вектором АВ и положительным направлением оси ох.

В этом случае из начала координат проводят луч под углом φ к оси ох и из начала координат по лучу откладывают отрезок прямой, равный модулю вектора АВ.

Действия с векторами:

• сложение векторов. Пусть даны вектора а и в. Необходимо найти вектор с, такой что

с = а + в,(рис.1.3).Вычислим с_х и с_у.

с_х = а_х + в_х;

с_у = а_у + в_у.

Тогда с = и tgφ = .

Рис.1.3. Сложение векторов

• вычитание векторов . Необходимо найти вектор с, такой , что с = а – в. В этом случае можно использовать привило сложения векторов, если сделать замену

с = а – в = а + (-в)

.При графическом сложении векторов проводят прямую линию, проходящую через вектор в и откладывают на ней вектор -в, как показано на рис.1.4.

Рис.1.4. Вычитание векторов

Графически вектора складывают по правилу «параллелограмма» или по правилу «треугольника»,рис.1.5. При сложении векторов по правилу «треугольника» вектор с получают, соединяя начало вектора а с концом вектора в. При вычитании векторов по правилу «треугольника» вектор с получают, соединяя концы векторов а и в. если их начала совмещены, рис.1.6.

Рис.1.5. Графическое сложение векторов

Рис. 1.6. Вычитание векторов

• проектирование векторов на ось координат .При графическом проектировании необходимо опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на ось координат. Отрезок прямой, заключенный между основаниями перпендикуляров дает модуль проекции вектора на ось. Направление проекции вектора задается направлением от проекции начала к проекции конца вектора на ось, (рис.1.7).

Рис. 1.7. Проекция вектора на ось

Модуль проекции вектора а на ось n определяется формулой

а_n = а*cosφ

Скалярным произведением векторов а и в называется выражение

(а,в) = а*в*cosφ,или а,в = а*в_а,

где в_{а –} проекция вектора в на ось, проведенную по вектору а, т.е. в_а = в*cosφ, рис.1.8.

Рис.1.8. Скалярное умножение векторов

Векторным произведением векторов а и в называют вектор с, модуль которого определяется формулой

с= а*в*sinφ,

где φ – угол между векторами а и в

Направлен вектор с перпендикулярно плоскости, проведенной через вектора а и в , причем так, что если смотреть с конца вектора с , то вращение вектора а до совмещения с вектором в должно осуществляться против часовой стрелки,рис.1.9. Векторное произведение обозначается следующим образом

с= .

Если по осям декартовых координат отложить единичные (их модуль равен 1)вектора i, j,k, то проекции вектора а на оси координат могут быть выражены через скалярные произведения:

а_х = а*i = a*cosφ, где φ – угол между векторами а и i,

а_у = а* j = а*cosα, где α – угол межлу векторами а и j,

а_z = а*k = f*cosγ, где γ – угол между векторами а и k.

Тогда вектор а может быть представлен через единичные вектора, называемые ортами, следующим образом:

а= а_хi + а_уj + а_zk

Рис. 1.9.Векторное произведение векторов