2. Операційні залежності.

Всі співвідношення між операційними змінними базуються на гіпотезі про баланс потоків у мережі: кількість вимог, що надійшли до деякого вузла протягом тривалого часу дорівнює кількості вимог, що покинули цей вузол.

Ця гіпотеза визначає умови роботи мережі СМО в сталому режимі.

Гіпотеза про баланс потоків дає можливість записати рівняння балансу потоків вимог:

(28)

За допомогою виразу (27) знаходимо продуктивність вузла, тобто інтенсивність вихідного потоку вузла :

Знаходимо коефіцієнт відвідування вузла вимогами:

(29)

Якщо вираз (28) поділити на , то отримаємо рівняння балансу коефіцієнтів відвідування:

(30)

Зв’язок коефіцієнтів відвідування й продуктивності вузла визначається виразом:

Визначимо середній час перебування вимог у мережі. Для цього введемо ще одну операційну змінну – – сумарний час очікування й обслуговування вимог у вузлі протягом часу Для вузла можна визначити середній час перебування вимог так:

(31)

Тоді для мережі в цілому можна записати:

(32)

Знайдемо середню кількість вимог у мережі

де операційна змінна, котру можна одержати з основних операційних змінних:

(33)

Операційний аналіз дозволяє отримати й формулу Літтла. З виразу (33) знайдемо:

Підставимо це значення у вираз (31):

Отримаємо закон Літтла для окремого вузла. Для мережі в цілому:

6. Аналіз вузьких місць в мережі

Вузьке місце в мережі СМО утворюється тим вузлом, коефіцієнт завантаження якого наближається до одиниці. У такому вузлі утворюється більша черга вимог, що у випадку: стає нескінченною й мережа переходить у нестійкий режим роботи. Зазначений вузол стає «насиченим» вимогами. Вузькі місця в мережі визначають її пропускну здатність. Тому пошук вузьких місць у мережі є важливим аспектом аналізу її роботи.

Приведемо співвідношення, що зв’язує коефіцієнти використання вузлів з коефіцієнтами їхнього відвідування:

У випадку збільшення кількості вимог, які одночасно обслуговуються в мережі, першим досягне «насичення» той вузол , що буде мати максимальне значення , тобто:

При отримуємо:

Розділимо обидві частини цієї рівності на :

звідси:

Звідси виходить, що при насиченні вузла вихідний потік вимог від мережі повністю визначається вузлом який є вузьким місцем.

Визначимо мінімальний середній час перебування вимоги в системі, якщо в мережі є тільки одна вимога, через коефіцієнти відвідування окремих вузлів і час обслуговування у вузлі:

На мал. 2.11 подано графік залежності продуктивності мережі від кількості вимог у мережі. У випадку збільшення інтенсивність вихідного потоку вимог монотонно росте до граничної асимптоти:

тобто доти, поки на неї не почне впливати потенційно вузьке місце вузла

Мал. 2.11

Через на мал. 2.11 позначена кількість вимог, при якому вузьке місце ще не впливає на пропускну здатність мережі.

Для замкнутої мережі з одним пристроєм обслуговування час перебування вимоги в мережі:

У випадку збільшення потік вимог від мережі буде рости, але не перевищить величини:

Таким чином,

На мал. 2.12 показана залежність середнього часу перебування вимоги в замкнутій мережі від кількості пристроїв обслуговування Асимптота, що створює вузьке місце в мережі, має рівняння:

Мал. 2.12

Асимптота перетинає вісь абсцис у точці .