Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника Описание установки и метода измерений

Под математическим маятником понимают идеализированную сис-тему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В данной работе в качестве математического маятни-ка используется массивный свинцо-

вый шарик, подвешенный на двух расходящихся нитях (рис. 10.2). Длину маятника можно изменять, наматывая нить на ось. При малых углах отклонения маятник

Рис. 10.2 совершает колебательное движение.

Когда маятник отклонен от положения равновесия на угол  (рис. 10.3), силу тяжести , действующую на него, можно разложить на две составляющие: , направленную вдоль нити, и , направленную перпендикулярно нити. Состав-

ляющая силы тяжести уравновешивается силой натяжения нити , а составляющая остается неуравновешенной. Она возвращает шарик в положение равновесия. Из рисунка видно, что . Если угол  мал, то sin примерно равен самому углу , измеренному в радианах. Тогда  = х/, и сила, возвращающая маятник в положение равновесия,

, (10.4)

где х – смещение шарика от положения равно-весия, – длина нити маятника, знак – показывает, что сила направлена к положению равновесия.

Теперь запишем II закон Ньютона для маятника:

Рис. 10.3

, (10.5)

где – вторая производная от смещения по времени, которая представляет собой тангенциальное ускорение , направленное так же, как сила .

Обозначив

, (10.6)

уравнение (10.5) можно переписать в виде

. (10.7)

Из уравнения (10.7) следует (это легко проверить подстановкой), что смещение шарика представляет собой следующую функцию времени:

, (10.8)

где А и  – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

Итак, при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания, то есть движется по закону косинуса (или синуса). Проанализировав уравнения (10.8), находим, что А – амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия),  – начальная фаза колебаний, а – циклическая (или круговая) частота, связанная с периодом колебаний Т соотношением:

. (10.9)

С учетом введенного выше обозначения (10.6) получаем формулу периода гармонических колебаний математического маятника

. (10.10)

Поскольку период колебаний маятника зависит от g, то с его помощью можно определять ускорение свободного падения в данной точке Земли

. (10.11)

Период колебаний маятника легко измерить на опыте, определив время t, за которое маятник совершает n колебаний:

. (10.12)