5. Обработка результатов косвенных измерений
Результат косвенного измерения определяется с помощью некоторой формулы, куда подставляют результаты прямых измерений. При этом должны быть известны средние значения и доверительные интервалы для результатов прямых измерений.
Представим формулу для расчёта в виде функции, где переменными являются результаты прямых измерений.
Например, объём шара:
,
площадь прямоугольника:
,
плотность массы:
,
объем параллелепипеда:
Формулы могут иметь более сложный вид, содержать степенные либо тригонометрические функции, иметь большое число переменных.
Рассмотрим в общем виде функцию двух переменных:
где x, y – результаты прямых измерений;
В теории измерений доказано, что среднее значение результата косвенных измерений вычисляется подстановкой в соответствующую формулу средних значений результатов прямых измерений:
Для расчёта
доверительного интервала
используется правило вычисления
дифференциала
функции. При
этом учитывается физическое содержание
(физическое понятие) дифференциала, а
именно: дифференциал определяет область
(интервал) существования значений данной
функции в зависимости от области
(интервала), в котором заданы переменные.
Итак, выполняя дифференцирование функции двух переменных, имеем:
Эта математическая
формула преобразуется в теории измерений
к другому виду, во-первых, заменой
и, во-вторых, вычислением модуля значений
величины
,
т.к. производные от функции могут иметь
положительный и отрицательный знаки,
но погрешности измерений не могут
«компенсировать» друг друга, а должны
только суммироваться. Применяя известное
правило вычисления модуля,
получим
формулу:
В этой формуле под
знаком корня «отброшены» удвоенные
произведения как величины более высокого
порядка малости. Положительное значение
радикала определяет модуль значения
-
интервала, в котором существует найденное
в эксперименте численное значение
результата косвенных измерений.
Окончательный результат имеет вид:
Следует помнить,
что все значения для результатов прямых
измерений должны вычисляться при одной
и той же доверительной вероятности p.
При этом же значении p
будет
определен
интервал
.
6. Правила представления результатов измерений
Численное значение отклонений при расчете доверительного интервала определяется одной – двумя значащими цифрами. Напомним, что для записи чисел используется десять цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Значащими цифрами числа называются все цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней. Например, при измерении некоторых линейных размеров L найдено: L1 = 1200 м; L2 = 208 м; L3 = 0.0406 м. Число L1 содержит четыре значащие цифры, L2 – три значащих цифры, L3 –три значащих цифры.
Количество и порядок знаков (цифр) при расчете средних значений определяется порядком знаков (цифр) у доверительного интервала. Если значение отклонения определяется целым числом, тогда среднее значение также должно быть найдено в виде целого числа. Если значения отклонений определяются десятыми, сотыми и т.д. долями – тогда средние значения должны быть вычислены с тем же количеством знаков десятичной дроби.
Рекомендуется записывать среднее значение измеренной физической величины в виде десятичной дроби так, чтобы перед запятой сохранялась одна значащая цифра, а после запятой – количество значащих цифр, соответствующее порядку величины погрешности (при этом сама погрешность содержит одну-две значащие цифры).
Общий порядок результата измерения выносится за скобку в виде множителя 10N, где N – показатель степени - положительное либо отрицательное целое число.
В качестве примеров покажем современные результаты измерений некоторых фундаментальных физических констант.
Скорость света в вакууме С = (2.99792458 0.00000012).108 м/с.
Масса электрона me = (9.1093826 0.0000016) .10-31 кг
Постоянная Планка h = (6.6260693 0.0000011) .10-34 Дж.с
Атомная единица массы (а.е.м.) = (1.66053886 0.00000028) .10-27 кг
Примечание. На практике допускается представление результатов в более простой форме, например:
L = (3152 28) м
U = (12.56 0.14) В
При более строгих требованиях эти же результаты должны быть записаны в виде:
L = (3.152 0.028) .103 м
U = (1.256 0.014) ).10 В
В отчетах, содержащих результаты измерений, требуется также указать точность и доверительную вероятность p полученного результата.