3.12. Сцепляемые очереди

В разд. 3.10 было показано, как на 2-3-дереве с п листьями выполнить каждую из операций ВСТАВИТЬ, УДАЛИТЬ, MIN и ПРИНАДЛЕЖАТЬ за время O(log n), если пользоваться значениями L и М. Сейчас покажем, как за время O(log n) выполнить каждую из операций СЦЕПИТЬ -и РАСЦЕПИТЬ. Снова будем предполагать, что элементы расположены на листьях 2-3-дерева в порядке возрастания слева направо и для каждого узла v вычисляются значения L[v] и М[v].

Операции сцепить(S₁, S₂) на вход подаются такие две последовательности S₁ и S₂, что каждый элемент из S₁ меньше каждого элемента из S₂; на выход она выдает конкатенацию этих последовательностей, т. е. S₁S₂. Если S₁ и S₂ представлены соответственно 2-3-деревьями T₁ и T₂, то мы хотим соединить T₁ и T₂ одно дерево T₁, листьями которого являются листья дерева T₁ в их первоначальном порядке и следующие за ними листья дерева Т₁ в их первоначальном порядке. Это можно осуществить, вызвав процедуру ИМПЛАНТАЦИЯ(T₁, T₂), приведенную на рис. 3.32.

Наконец, рассмотрим операцию РАСЦЕПИТЬ. Напомним, что операция РАСЦЕПИТЬ(a, s) разбивает S на два множества S₁ = {bb  a и b  S} и S₂ = {bb>a и b  S}. Для ее реализации определим процедуру ДЕЛЕНИЕ(а, T), которая расцепляет 2-3-дерево Т на два такие 2-3-дерева T₁ и T₂, что метки всех листьев в T₁ не больше а, а метки всех листьев в T₂ больше а.

Метод можно неформально описать следующим образом. Дано 2-3-дерево T, содержащее элемент а. Идем по пути из корня в лист с меткой а. Этот путь разбивает наше дерево на поддеревья, корнями которых служат не сами узлы, лежащие на нем, а их сыновья. Это иллюстрирует рис. 3.33, где слева от пути находятся деревья T₁, T₂ , T₃ и тривиальное дерево, состоящее из одного узла v₁, а справа – деревья Т₄, T₅ и v₂.

Деревья слева от рассматриваемого пути и дерево, состоящее из одного узла а, соединяются с помощью только что описанного алгоритма конкатенации деревьев. Аналогично соединяются деревья, расположенные справа от пути. Необходимые детали даны в процедуре ДЕЛЕНИЕ (рис. 3.34).

procedure ДЕЛЕНИЕ(а, T):

begin

на пути из узла КОРЕНЬ[T] к листу с меткой а удалить все узлы, кроме этого листа;

comment В данный момент дерево Т оказалось разделенным на два леса - левый, состоящий из всех деревьев, листья которых лежат слева от а, и из узла с меткой а, и правый, состоящий из всех деревьев, листья которых лежат справа от а;

while в левом лесу более одного дерева do

begin

пусть Т' и T" – два самых правых дерева в левом лесу;

ИМПЛАНТАЦИЯ(Т', Т')¹

end;

while в правом лесу более одного дерева do

begin

пусть T' и T" – два самых левых дерева в правом лесу;

ИМПЛАНТАЦИЯ(T', T")

end

end

Рис. 3.34. Процедура для расцепления 2-3-дерева.

Теорема 3.7. Процедура ДЕЛЕНИЕ разбивает 2-3-дерево Т по листу а так, что все листья слева от а и сам лист а оказываются в одном 2-3-дереве, а все листья справа от а – в другом. Эта процедура занимает время O(ВЫСОТА(T)). Порядок листьев сохраняется.

Доказательство. Из свойств процедуры ИМПЛАНТАЦИЯ вытекает, что деревья объединены правильно. Результат о времени работы получается из следующих соображений. Вначале число деревьев любой данной высоты не более 2, только деревьев высоты 0 может быть 3. Когда два дерева соединяются, получается дерево, высота которого не более чем на единицу больше наибольшей из высот двух исходных деревьев. В случае когда получается дерево высоты, на единицу большей высоты любого из исходных деревьев, его корень имеет степень 2. Таким образом, если соединяются три дерева высоты h, то в результате получается дерево высоты не более h + 1. Следовательно, на каждой стадии процесса число деревьев одинаковой высоты не превосходит 3.

Время, требуемое для соединения двух деревьев разной высоты, пропорционально разности их высот, а одинаковой высоты – постоянно. Поэтому объединение всех деревьев происходит за время, пропорциональное сумме числа деревьев и наибольшей из разностей высот любых двух деревьев. Таким образом, всего тратится времени порядка высоты исходного дерева. 

Заметим, что с помощью сцепляемой очереди последовательность S₂ можно вставить между парой элементов последовательности S₁ за время O(МАХ (log|S₁|, logS₂)). Если S₂= b₁, b₂, . . . , b_п, S₁ = a₁, a₂, . . ., а_m и S₂ нужно вставить между элементами а_i и a_i+1, то можно применить операцию РАСЦЕПИТЬ(a_i, S₁) и разбить S₁ по элементу а_i на две последовательности S₁^= a₁, .... a_i; и S₁' = a_i+1, . . ., а_m. Затем применить операцию СЦЕПИТЬ(S₁^, S₂), результатом которой будет последовательность S₃= a₁, . . ., а_i, b₁, . . ., b_n, и, наконец, операцию СЦЕПИТЬ(S_з, S₁^), дающую нужную последовательность.