3.11. Сливаемые деревья

В данном разделе мы познакомимся со структурой данных, с помощью которой можно выполнить последовательность из операций ВСТАВИТЬ, УДАЛИТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ и MIN за время O(п log п). В этой структуре, которую можно воспринимать как обобщение сортирующего дерева, рассмотренного в разд. 3.4, множество элементов S представляется 2-3-деревом Т. Каждый элемент из S появляется в виде метки листа дерева Т, но множество листьев не упорядочено, как это было в двух предыдущих разделах. Каждый внутренний узел дерева Т пометим значением НАИМЕНЬШИЙ[v], т. е. значением наименьшего элемента, хранящегося в поддереве с корнем v. Для этого применения 2-3-деревьев L[v] и M[v] не нужны.

Наименьший элемент множества S можно найти, если следующим образом двигаться вниз по дереву Т, начиная от его корня. Находясь во внутреннем узле v, переходим к сыну узла v помеченному наименьшим значением функции НАИМЕНЬШИЙ. Следовательно, если Т содержит п листьев, то операция MIN занимает O(log п) шагов.

Во многих приложениях всякий раз, когда надо удалить из S какой-то элемент, он всегда наименьший. Но если мы хотим удалить из S произвольный элемент, мы должны уметь найти лист, содержащий его. В тех приложениях, где элементы можно представить целыми числами 1, 2, .... п, можно пронумеровать сами листья. Если же элементы произвольны, то можно воспользоваться вспомогательным 2-3-словарем, листья которого содержат указатели на листья дерева Т. С помощью этого словаря можно достичь произвольного листа за O(log n) шагов. Словарь надо корректировать

procedure ИМПЛАНТАЦИЯ(Т₁, Т₂):

if ВЫСОТА(Т₁) = ВЫСОТА(Т₂) then

begin

образовать новый корень r;

сделать KOPEHЬ [T₁] и КОРЕНЬ[Т₂] соответственно левым и правым сыновьями узла r;

end

else

wlg положим ВЫСОТА(Т₁) > ВЫСОТА(Т₂) otherwise переставить Т₁ с Т₂ и "левый" с "правым" in

begin

пусть v–такой узел на самом правом пути в T₁, что глубина(v) = ВЫСОТА(T₁) -ВЫСОТА(T₂);

пусть f - отец узла v;

сделать КОРЕНЬ[T₂] сыном узла f, расположенным непосредственно справа от v;

if у f сейчас четыре сына then ДОБАВСЫНА(f)¹

end

Рис. 3.32. Процедура ИМПЛАНТАЦИЯ.

всякий раз, когда выполняется операция ВСТАВИТЬ, но это требует не более O(logn) шагов.

Коль скоро лист l удален из T, надо для каждого его подлинного предка v пересчитать значения функции НАИМЕНЬШИЙ. Новым значением для НАИМЕНЬШИЙ[v] будет наименьшее из значений НАИМЕНЬШИЙЫ для двух или трех сыновей s узла v. Если всегда пересчитывать снизу вверх, то индукцией по числу пересчетов можно показать, что каждое вычисление дает для функции НАИМЕНЬШИЙ правильный ответ. Так как эта функция меняется только в предках удаленного листа, то операцию УДАЛИТЬ можно выполнить за O(log n) шагов.

Изучим операцию ОБЪЕДИНИТЬ. Каждое множество представлено отдельным 2-3-деревом. Чтобы слить два множества S₁ и S₂, вызываем процедуру ИМПЛАНТАЦИЯ (T₁, Т₂), приведенную на рис. 3.32, где T₁ и Т₂ – это 2-3-деревья, представляющие S₁ и S₂¹.

Пусть высота h₁ дерева T₁ не меньше высоты h₂ дерева T₂. ИМПЛАНТАЦИЯ находит на самом правом пути в T₁ узел v с высотой h₂ и делает корень дерева T₂ его самым правым братом. Если у его отца f окажется четыре сына, ИМПЛАНТАЦИЯ вызовет процедуру ДОБАВСЫНА(f). Значения функции НАИМЕНЬШИЙ на узлах, потомки которых изменяются в процессе выполнения процедуры ИМПЛАНТАЦИЯ, можно скорректировать тем же способом, что и в операции УДАЛИТЬ.

В качестве упражнения предлагаем показать, что процедура ИМПЛАНТАЦИЯ соединяет T₁ и Т₂ в одно 2-3-дерево за время O(h₁ – h₂) (при h₁  h₂). Если учитывать время на корректировку значений L и М, то процедура ИМПЛАНТАЦИЯ может занять O(MAX(log||S₁||, log||S₂||) времени.

Рассмотрим теперь приложение, в котором естественно возникают операции ОБЪЕДИНИТЬ, MIN и УДАЛИТЬ.

Пример 3.12. В примере 3.1 мы изложили алгоритм для нахождения остовных деревьев наименьшей стоимости. Он формировал из узлов все большие и большие множества, такие, что элементы каждого из них соединялись ребрами, выбранными для остовного дерева наименьшей стоимости. Стратегия нахождения новых ребер для этого остовного дерева состояла в том, чтобы перебирать ребра (сначала наименьшей стоимости) и проверять, соединяют ли они какие-нибудь еще не соединенные узлы.

Рассмотрим другую стратегию. Для каждого множества узлов V_i будем хранить множество E_i всех нерассмотренных ребер, инцидентных каким-то узлам в V_i. Если выбрать не рассмотренное ранее ребро е, инцидентное узлу из относительно малого множества V_i то другой конец ребра е с большой вероятностью не будет лежать в V_i, и можно будет добавить е к остовному дереву. Если это нерассмотренное ребро е обладает наименьшей стоимостью среди всех ребер, инцидентных узлам из V_i, тo можно показать, что включение его в остовное дерево приведет к остовному дереву наименьшей стоимости.

Для реализации этого алгоритма надо сначала образовать для каждого узла множество инцидентных ему ребер. Чтобы среди ребер, инцидентных узлам из V_i, найти нерассмотренное ребро наименьшей стоимости, применим MIN-оператор к множеству E_i нерассмотренных ребер для V_i. Затем удалим из E_i найденное так ребро е. Если окажется, что е имеет в V_i только один конец, а другой лежит в множестве V_i^, отличном от V_i, то выполним операцию ОБЪЕДИНИТЬ для V_i и V_i^ (например, используя структуру данных алгоритма 3.3), а также для E_i и Е_i^.

В качестве структуры данных для представления каждого множества ребер E_i можно взять 2-3-дерево, каждый лист которого помечен ребром и его стоимостью. На множестве ребер нет никакого специального порядка. Каждому нелисту приписана наименьшая стоимость его потомков-листьев, обозначаемая НАИМЕНЬШИМ.

Вначале для каждого узла образуем 2-3-дерево, содержащее все инцидентные ему ребра. Чтобы построить такое дерево, начнем с листьев. Затем добавим узлы высоты 1, так объединяя листья в группы по два или три, чтобы групп из двух листьев было не больше двух. Сделав это, вычислим для каждого узла высоты 1 наименьшую стоимость листа-потомка. Затем соберем узлы высоты 1 в группы по два или три и будем продолжать процесс до тех пор, пока на некотором уровне не образуется один узел, а именно корень. Время, затрачиваемое на такое построение дерева, пропорционально числу листьев. Реализация остальной части алгоритма теперь должна быть очевидна. Общее время работы составляет O(e log e), где е – число всех ребер. 