3.10. Словари и очереди с приоритетами
В этом разделе мы изучим основные преобразования, требуемые для реализации словарей и очередей с приоритетами. На протяжении всего раздела будем предполагать, что элементы приписаны листьям 2-3-дерева в порядке слева направо и в каждом нелисте v определены функции L[v] и M[v], введенные в предыдущем разделе.
Чтобы в 2-3-дерево вставить новый элемент а, надо найти место для нового листа l, который будет содержать а. Для этого ищут элемент а в дереве. Если дерево содержит более одного элемента, то поиск а окончится в узле f, имеющем двух или трех сыновей, которые являются листьями.
Если из узла f выходит только два листа l1 и l2, то l делаем сыном узла f. Если а<Е[l1]1, то l делаем самым левым сыном узла f и полагаем L[f]=a и M[f] = E[l1]; если Е[l1]<а<Е[l2], то l делаем средним сыном узла f и полагаем M[f]=a; если Е[l2]<а, то l делаем третьим сыном узла f. В последнем случае, возможно, надо будет изменить значения L и М на некоторых подлинных предках узла f.
Пример 3.9. Если в 2-3-дерево, изображенное на рис. 3.27,а, вставляется элемент 2, то получается 2-3-дерево, изображенное на рис. 3.27,б.
Теперь предположим, что у f уже есть три листа l1, l2 и l3. Сделаем l надлежащим сыном узла f. Теперь f имеет четырех сыновей. Чтобы сохранить 2-3-свойство, образуем новый узел g. Два левых сына оставим сыновьями узла f, а два правых переделаем в сыновей узла g. Затем сделаем g братом узла f, сделав его сыном отца узла f. Если отец узла f имел двух сыновей, то на этом мы остановимся. Если же трех, то надо рекурсивно повторять эту процедуру до тех пор, пока у всех узлов в дереве останется не более трех сыновей. Если у корня окажется четыре сына, образуем новый корень с двумя новыми сыновьями, каждый из которых будет иметь в качестве двух своих сыновей двух из четырех сыновей старого корня.
Пример 3.10. Если в 2-3-дерево на рис. 3.27,а, вставляется элемент 4, то новый лист с меткой 4 надо сделать самым левым сыном узла с. Поскольку у с уже есть три сына, строим новый узел с Затем делаем листья 4 и 5 сыновьями узла с, а листья 6 и 7 – сыновьями узла с'. Теперь делаем с' сыном узла а. Но поскольку у а уже есть три сына, строим новый узел а'. Делаем узлы b и с сыновьями старого узла а, а узлы с' и d – сыновьями нового узла а'. Наконец, образуем новый корень r и делаем а и а' его сыновьями. Полученное дерево изображено на рис. 3.28.
Алгоритм 3.4. Вставка нового элемента в 2-3-дерево
Вход. Непустое 2-3-дерево Т с корнем r и новый элемент аТ.
Выход. Преобразованное 2-3-дерево с новым листом, помеченным а.
Метод. По условию Т содержит хотя бы один элемент. Чтобы упростить описание алгоритма, опустим детали корректировки L и М.
1. Если Т состоит из единственного узла l с меткой b, образуем новый корень r'. Образуем новый узел v с меткой а. Делаем l и v сыновьями корня r', причем l будет левым сыном, если b < а, и правым в противном случае.
2. Если Т содержит более одного узла, положим f = ПОИСК(а, r); процедура ПОИСК приведена на рис. 3.29. Образуем новый лист l с меткой а. Если у f два сына с метками b1 и b2,
procedure ПОИСК(а, r):
if любой сын узла г является листом then return r
else
begin
пусть si будет i-м сыном, узла r;
if a L[r] then return ПОИСК(a, s1)
else
if у r два сына или a M[r] then return ПОИСК(a, s2)
else return ПОИСК(а, s2)
end
Рис. 3.29. Процедура ПОИСК.
то делаем l надлежащим сыном узла f. А именно, l будет левым сыном, если a<b1, средним, если b1<а<b2 и правым, если b2 < a. Если у f три сына, делаем l надлежащим сыном узла f, а затем чтобы включить в Т узел f и его четырех сыновей, вызываем ДОБАВСЫНА (f). Процедура ДОБАВСЫНА приведена на рис. 3.30. Чтобы учесть присутствие узла а, корректируем значения L и М вдоль пути из а в корень1. Другие очевидные изменения, корректирующие
procedure ДОБАВСЫНА (v):
begin
образовать новый узел v'
сделать двух самых правых сыновей узла v левым и правым сыновьями узла v';
if у v нет отца then
begin
образовать новый корень r;
сделать v левым, а v ' правым сыном корня r
end
else
begin
пусть f – отец узла v;
сделать v' сыном узла f, расположенным непосредственно справа от v,
if теперь у f четыре сына then ДОБАВСЫНА(f)
end
end
Рис. 3.30. Процедура ДОБАВСЫНА.
значения L и М, производятся процедурой ДОБАВСЫНА (здесь они опущены–предлагаем их в качестве упражнения).
Теорема 3.6. Алгоритм 3.4 вставляет новый элемент в 2-3-дерево с п листьями за время, не превосходящее O(log n). Более того, этот алгоритм сохраняет порядок исходных листьев и структуру 2-3-дерева.
Доказательство. Очевидная индукция по числу вызовов процедуры ПОИСК показывает, что новый лист становится сыном того узла, какого надо. Порядок исходных листьев не затрагивается. Что касается времени работы, то в силу леммы 3.6 высота 2-3-дерева с п листьями не превосходит log п. Поскольку добавсына(v) рекурсивно вызывает себя только на отце узла v, может произойти не более log п рекурсивных вызовов. Каждый вызов ДОБАВСЫНА занимает постоянное время, так что общее время не превосходит O(log n).
Элемент а можно удалить из 2-3-дерева способом, по существу обратным к вставке. Пусть а – метка листа l. Рассмотрим отдельно три случая.
Случай 1. Если l – корень, удаляем его. (В этом случае а был единственным элементом в дереве.)
Случай 2. Если l – сын узла, имеющего трех сыновей, удаляем его.
Случай 3. Если l – сын узла, имеющего двух сыновей s и l, то может быть одно из двух:
а) f – корень; удаляем l и f и делаем корнем второго сына s;
б) f – не корень. Допустим, что f имеет брата1 слева от себя. Случай, когда брат находится справа, рассматривается аналогично. Если у g только два сына, делаем узел s самым правым сыном узла g, удаляем l и рекурсивно вызываем процедуру удаления, чтобы удалить f. Если у g три сына, то самого правого сына делаем левым сыном узла f и удаляем l.
Пример 3.11. Из 2-3-дерева на рис. 3.28 удалим элемент 4. Лист с меткой 4 является сыном узла с, у которого два сына. Поэтому делаем лист с меткой 5 самым правым сыном узла b, удаляем лист с меткой 4 и затем рекурсивно удаляем узел с.
Узел с – сын узла а, у которого два сына. Узел а' – правый брат узла а. Поэтому по симметрии делаем b самым левым сыном узла а удаляем с и затем рекурсивно удаляем а.
Узел а – сын корня. Применяя случай За, делаем а' корнем остающегося дерева (рис. 3.31).
Формальную детализацию процесса, а также доказательство того, что на 2-3-дереве с п листьями его можно выполнить не более чем за O(log n) шагов, оставляем в качестве упражнения.
Итак, операции ПРИНАДЛЕЖАТЬ, ВСТАВИТЬ и УДАЛИТЬ на 2-3-дереве с п листьями можно выполнить не более чем за O(log п) шагов. Следовательно, 2-3-дерево может служить словарем с производительностью O(п log п), ибо оно может обеспечить выполнение последовательности из п операций ПРИНАДЛЕЖАТЬ, ВСТАВИТЬ и УДАЛИТЬ не более чем за O(n log п) шагов.
Исследуем теперь операцию MIN. Наименьший элемент в 2-3-дереве расположен в самом левом листе, который, конечно, можно найти за O(log п) шагов. Поэтому любую последовательность из п операций ВСТАВИТЬ, УДАЛИТЬ и MIN можно с помощью 2-3-дерева выполнить за время O(п log п). Тем самым обосновано наше утверждение о том, что 2-3-дерево может служить для реализации очереди с приоритетами с производительностью O(п log п). Для этой же цели годятся также сортирующее дерево, используемое в алгоритме Сортдеревом, и АВЛ-дерево, обсуждаемое в упр. 3.30– 3.33.