8. Проверка статистических гипотез и статистические критерии.

Процедуры проверки простых гипотез для дискретных распределений. Выбор статистики критерия. Функции чувствительности (мощности) критерия. Метод Неймана-Пирсона построения наиболее мощного критерия, основанный на функции правдоподобия. Критерии проверки сложных гипотез. Критерий Пирсона (хи-квадрат). Критерий Колмогорова (D-критерий). Критерий Мизеса (²). Дисперсионный анализ. Непараметрические (порядковые) критерии: критерий знаков, критерий Вилкоксона. Регрессионный анализ.

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

5.1. Рекомендуемая литература.

Основная.

1. Афонькин И.В., Аксенов Б.Е., Евменов В.П., Нечипоренко М.И. Основы теории вероятностей. Часть 1. Учебное пособие. - Л.: ЛПИ, 1974, 165 с.

2. Вероятностные разделы математики. Под общей редакцией Ю.Д. Максимова. Учебник.- СПб: «Иван Федоров», 2001, 590 с.

3. Математическая статистика. Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. Учебник - М.: Издательство МГТУ, 2001, 424 с.

Дополнительная

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.- М.: Высшая школа, 2000, 480 с.

5. ВентцельЕ.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей.-М.: Высшая школа, 2000, 366 с.

6. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие. – СПб: Питер, 2005, 478 с.

7. Афонькин И.В., Аксенов Б.Е., Евменов В.П., Нечипоренко М.И. Основы теории вероятностей. Часть 2. Введение в математическую статистику. Учебное пособие. - Л.: ЛПИ, 1974, 135 с.

8. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией Ефимова А.В.- М.:Наука,1970,424 с.

9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией Свешникова А.А.-М.: Наука, 1970, 656 с.

5.2. Перечень вопросов ядра курса для тестирования устойчивости знаний приведен в приложении.

Тестирование устойчивости знаний по ядру курса лекций. Раздел 1. Теория вероятностей

1. Что такое вероятность? Какие существуют различные определения понятия вероятности? Дать их формулировку. Что такое геометрическая вероятность?

2. Что такое случайное событие? Какие операции можно проводить над случайными событиями? Свойства этих операций.

3. Что такое размещения k элементов из n , перестановки П_n , сочетания k элементов из n ? Какова связь между ними ? Формулы для вычисления.

4. Теорема сложения исчисления вероятностей случайных событий. Формула сложения двух событий, трех событий. Понятие совместных и несовместных событий.

5. Что такое условная вероятность события? Дать определение и записать формулу. Теорема умножения. Свойства попарной независимости событий и независимости в совокупности. Варианты формулы умножения.

6. Формула полной вероятности для совокупности случайных событий (без вывода). Ее применение.

7. Формула Байеса для совокупности случайных событий (без вывода). Ее применение.

8. Что такое случайная величина? Что такое закон распределения случайной величины? Свойства закона распределения. Что такое дискретная с.в., непрерывная с.в., смешанная с.в.? Что такое числовая характеристика с.в.? Математическое ожидание функции от с.в. Начальные и центральные моменты распределения с.в. Свойства математического ожидания и дисперсии с.в.

9. Дискретная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики: ряд и функция распределения, моменты распределения, мода, медиана, квантиль, асимметрия, эксцесс, коэффициент вариации. Их свойства.

10. Непрерывная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики и их свойства.

11. Смешанная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики и их свойства.

12. Схема Бернулли проведения испытаний. Порождаемые ею случайные величины. Стандартные распределения дискретных случайных величин: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, Паскаля. Их характеристики: ряд и функция распределения, математическое ожидание, дисперсия. Асимптотическое поведение биномиальной вероятности.

13. Стандартные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, экспоненциальное, Эрланга, гамма, нормальное, логнормальное, Вейбулла, Рэлея, хи-квадрат, Стьюдента. Их характеристики: плотность и функция распределения, математическое ожидание, дисперсия.

14. Производящие функции дискретных распределений. Их свойства и применение.

15. Характеристические функции непрерывных распределений. Их свойства и применение. Операционное преобразование Лапласа - Карсона и Лапласа-Стилтьеса для непрерывных распределений. Их свойств и применение.

16. Как найти плотность распределения и моменты распределения при одномерном функциональном преобразовании случайных величин? Примеры.

17. Что такое двумерная случайная величина? Способы задания. Основные характеристики (плотность или матрица распределения, функция распределения) и их свойства.

18. Моменты распределения двумерной случайной величины. Ковариация и корреляция, коэффициент корреляции, их свойства. Связь между ними. Неравенство Коши - Буняковского.

19. Условные распределения и условные моменты распределения для двумерного вектора. Независимость случайных величин. Связь условных и безусловных моментов. Регрессия. Условная дисперсия.

20. Интегральная формула полной вероятности для двумерного случая.

21. Интегральная формула Байеса для двумерного случая.

22. Двумерное нормальной распределение. Формула для плотности вероятности. Свойства распределения.

23. Двумерное функциональное преобразование случайного вектора. Получение плотности распределения отклика и моментов распределения.

24. Распределение и моменты распределения суммы двух случайных величин.

25. Распределение разности двух случайных величин.

26. Распределение и моменты распределения произведения двух случайных величин.

27. Распределение частного двух случайных величин.

28. Какое функциональное преобразование приводит к распределениям Стьюдента и Рэлея?

29. Как найти распределения и моменты распределения максимума и минимума двух случайных величин?

30. Основные характеристики многомерной случайной величины и их свойства.

31. Понятие попарной независимости и независимости в совокупности.

32. Математическое ожидание и дисперсия суммы и произведения нескольких случайных величин.

33. Интегральная формула полной вероятности в многомерном случае.

34. Интегральная формула Байеса в многомерном случае.

35. Закон больших чисел: содержательное и математическое определение.

36. Понятия сходимости по вероятности и в среднеквадратическом.

37. Закон больших чисел в формулировке Маркова, Чебышева, Бернулли и Пуассона.

38. Центральная предельная теорема, ее суть и вероятностный механизм. Теорема Муавра-Лапласа, теорема Маркова, теорема Ляпунова.