курсовой проект / EUSU / Курсовая

6.2. Измеренная и измеряемая температуры

Температура Т_с, измеренная с помощью резистора или тер­мопары, фактически является температурой датчика. Она, ко­нечно, зависит от температуры Т_х среды, в которую погружен /датчик, но также и от существующего теплообмена. При фор­мулировании упрощенной модели процесса измерения предпо­лагается, что в условиях измерений погрешность Т_х—Т_с мала.

6.2.1. Расчет показания датчика

Общая модель. Тепловой поток Р_аь между двумя поверх­ностями S_a и S& с температурами Т_а и Т_ь определяется тепло­вым законом Ома, который может быть представлен любым лз двух соотношений:

Т а — Ть = RgabPab, РаЪ = О_ваь (Т_а Ть) ,

где 'Кал и 'Свой — взаимно-обратные величины, представляю­щие собой, соответственно, тепловое сопротивление (°С/Вт) и тепловую проводимость (Вт/°С) между поверхностями S₀

« 2ь.

Зонд для измерения температуры, состоящий из датчика с теплоемкостью К и (обычно) покрытия или защитной оболоч| ки, помещается в исследуемую среду с температурой Т_х. Пусть Сехс — тепловая проводимость между этой средой и датчиком. Кроме того, датчик всегда связан с внешней средой соедини­тельными электрическими проводами и, в большинстве случа­ев, своей защитной оболочкой. Пусть С_вас — тепловая проводи­мость между датчиком и внешней средой с температурой Т_а

Количество тепла, получаемое датчиком за 1 с, определяет­ся уравнением

dQJdT = К. (dTJdt)

v. равно сумме тепловых потоков к датчику от двух рассмат­ риваемых сред: потока от исследуемой среды С_вхс(Т_х—Т_с) и потока от внешней среды G,,ac(Ta—Т_с). Скорость изменения температуры датчика Т_с- выражается уравнением теплового баланса , . |

К (dT,ldl) --: Go._vc (Т, - Г,) h G_ane (Т., - Т,.).

Случай постоянной температуры исследуемой среды. В этом случае общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид

Т (Л — gq_xct_x + GQacTa gq_xc (Т_х — tcq) + С'вас (Т а —' Т_си) -_</_т °'0Л- -Ь ^оас G_&xc + gquc

где Т_с0 — начальная температура датчика (^ = 0) и i = K(G_oxc-}-+ Geac) — постоянная времени измерительного зонда в услови­ях опыта. Вид функции T_c(t) показан на рис. 6.1.

После нестационарного режима, продолжительность кото^: рого определяется временем запаздывания т, температура датчика приобретает равновесное значение

/т. ОвхсТ* + 0$,,_СТ,,

Л о •" •

gqxc + G&ac

Отличие этого значения от температуры исследуемой среды определяется выражением

Т т¹ - ⁽'"'"' /т т \

1х •'<- — — — (J х I а)-

"вте ~г" "вж

Наименьшая погрешность достигается при условии

gqxc S* Gg_ac.

Следовательно, необходимо стремиться к увеличению теплооб­мена между датчиком и исследуемой средой и уменьшению теплообмена между датчиком и внешней средой. Инерцион­ность датчика определяется постоянной времени запаздыва­ния т. Равновесная температура устанавливается тем быст­рее, чем меньше теплоемкость датчика К и чем выше тепло-'вая проводимость Giu-с между датчиком и исследуемой средой. Проводимость Gexc максимальна в случае датчика без защит­ной оболочки, однако такая конструкция используется редко, поскольку датчик необходимо защищать от химического воз­действия, конденсации вредных паров на изоляторах, ударов и вибрации. Поэтому датчик обычно снабжается защитным кор­пусом, конструкция '.которого выбирается из компромиссных соображений обеспечения необходимой прочности при мини­мальном тепловом сопротивлении в поперечном направлении. Случай переменной температуры исследуемой среды. Усло­вия снижения погрешности Т_х—7_С остаются такими же, как и для случая постоянной температуры Т_х. Так, например, при линейном изменении температуры среды

Т_Х^-Т_ХО + АТ

решение дифференциального уравнения нагрева датчика име­ет вид

Г_с = 9^_г—\АТ+(Т_хо-Ат + ^2S-T_a] (l-e-'/^l+TV-'/',

Сею + "ее* L °ех-с

где T = /C/(G_0xc+Geac) —время запаздывания, Г„•—температу­ра внешней среды и Т_с0 — температура датчика в начальный момент ^ = 0.

При- условии G_axi.^>Gtar погрешность постоянна и равна

Т_х~ Г_с-Лт.

Погрешность возрастает с увеличением времени запаздывания т и скорости изменения температуры исследуемой среды.

Анализ параметров, определяющих показание датчика. Рас­смотрим датчик, имеющий температуру Т_с, связанный соеди­нительными проводами с внешней средой, температура которой равна Т„, и помещенный в защитный корпус с температурой Т_е, которую будем считать постоянной на длине датчика. Из теплового закона Ома для датчика имеем соот­ ношения _f

Те— I с ⁼ l\eec*eci Т _а — Т_с = rqoc "act

гче JReec и Яеас —тепловые сопротивления, между корпусом и датчиком и между внешней средой и датчиком, соответствен-_но> р_ес_ тепловой поток между корпусом и датчиком, а Р_вс-тепловой поток между внешней средой и датчиком. В состоя­нии теплового равновесия суммарный поток тепла к датчику равен нулю Р_ее+Р_ае = 0. Следовательно,

_r R₆gcT_e + КвесТд

I с ~~ ' ~~ '

Квас + Квсс

Аналогично, применение теплового закона Ома к защитно­му корпусу дает соотношения

Т_х -— Т_е = t\Qxe^xe > Т_а — Т_е = Reae* ae>

где Rt_Xc и Квас — тепловые сопротивления между исследуемой средой и корпусом и между внешней средой и корпусом соот­ветственно; Р_хс и Р_ае — тепловые потоки между корпусом и исследуемой средой и между внешней средой и корпусом, со­ответственно. В состоянии теплового равновесия сумма теп­ловых потоков к корпусу равна нулю Р_Хе-{-Рае=0. Следова­тельно,

Т _ R()aeTx ~Ь КвхеТд i е — •

Квие + Квхе

Разность величин Т_с и Т_х уменьшается с уменьшением разно­сти величин Т_с и Т_е, которая минимальна при условии

Rsec-^Reac (уСЛОВИе I),

а также с уменьшением разности величин Т_е и Т_х, которая

минимальна при условии

Rexe^Reae (уСЛОВИв II).

' Выполнение условия I. Тепловое сопротивление Reac равно сопротивлению двух проводов (длиной // и площадью попе­речного сечения s/), соединяющих датчик с внешней средой. Оно выражается соотношением

#e«e = (l/2)//A/s,_f

где. Я/ — удельная теплопроводность металла, из которого из­готовлена проволока. Для увеличения R_sac выгодно уменьшать площадь поперечного сечения (насколько это допускают тре-•бования, предъявляемые к прочности), а в случае резисторно-го датчика — и условие малости сопротивления проводов по сравнению с сопротивлением датчика. Выгодно также увели­чивать глубину погружения L, чтобы увеличивалась длина //. Обычно глубину погружения делают, по крайней мере, на ho-рядок больше радиуса зонда или корпуса, в котором находит­ся датчик.

Тепловое сопротивление Re_ec между внешней поверхностью корпуса и датчиком равно сумме последовательных тепловых сопротивлений:

Reec = Ror₂ri + Rdric,

где Rer^r_i -тепловое сопротивление корпуса в поперечном на­правлении на длине датчика, а R_er_iC —тепловое сопротивление между датчиком радиуса г_с и внутренней поверхностью корпу-

са. Эти два тепловых сопротивления выражаются следующим, образом:

г> 'RC^Ai)

^^2Г1= 2яМ, '

где /"2, Л — радиусы внешней и внутренней поверхностей кор­пуса соответственно, К_е — теплопроводность материала корпуса и /_с— длина датчика:

р и^ау)

Kb» г—г- .

2лХ_;/_с

где Я, — теплопроводность внутренней среды в зазоре между датчиком и внутренней поверхностью корпуса. Уменьшение сопротивления Яег_аг, достигается использованием тонкого кор­пуса и хорошо теплопроводящего материала, а для сопротив­ления .Ке/^с—уменьшением зазора между датчиком и внутрен­ней поверхностью корпуса, а также заполнением зазора мате­риалом с большой теплопроводностью.

Выполнение условия II. Сопротивление R_eae представляет собой сопротивление корпуса в продольном направлении меж­ду датчиком и внешней средой. Оно выражается соотношением

*\вае — L_e/A_eS_e,

где L_e — длина корпуса, a s_e — площадь его поперечного се­чения

se = n(r^—r\).

При уменьшении сопротивления Rtir₂r_t за счет увеличения теп­лопроводности К_е уменьшение сопротивления R_eae в принципе-может быть достигнуто путем использования корпуса с тон­кой стенкой и увеличения глубины погружения термопары.

Иными словами, чтобы уменьшить градиент температуры вдоль корпуса или соединительных проводов около датчика, рекомендуется располагать их на некотором участке вдоль изо­термы, проходящей через датчик.

Тепловое сопротивление Rax? между исследуемой средой и корпусом сущеетпеппо .чаписпт от природы что и сроды (твер­дое тело, течение жидкости или газа). Условия уменьшения¹ этого сопротивления рассматриваются в следующих разделах, посвященных измерениям в различных средах.

6.2.2. Измерение температуры внутри твердого тела

Датчик, снабженный, при необходимости, защитным кор­пусом, размещается в углублении, просверленном в твердом: теле. В соответствии с установленными выше условиями глу-

бина L сверления должна быть, по крайней мере, на порядок, больше радиуса г, а для уменьшения теплового сопротивления. Rexe на участке исследуемое твердое тело — корпус зазор меж­ду внутренней поверхностью углубления и корпусом должен; быть сведен к минимуму и заполнен материалом с высокой-теплопроводностью.

6.2.3. Измерение температуры А жидкостях л газах

При измерении температуры в жидкостях и газах возника­ют свои трудности. Теплообмен между зондом и такой сре­дой сильно зависит от параметров, характеризующих свойства среды — вязкости, теплопроводности и скорости, — и одновре­менно от времени запаздывания зонда, отличия его темпера­туры от температуры среды в условиях равновесия и (напри* , мер, в случае термометра сопротивления) от его самрразогре-ва в процессе измерений (разд. 6.3.4).

Трубопровод, по которому течет поток, обьично имеет тем--пературу, отличную от температуры текущей среды. В связи с возникающими при этом радиальными градиентами темпера.-туры встает задача о наилучшем расположении зонда в пото­ке; кроме того,-в ряде случаев радиационный теплообмен меж­ду зондом и стенками канала может приводить к существенно­му изменению равновесной температуры зонда. Наконец, при: больших скоростях течения в жидкостях может происходить нагрев зонда вследствие трения, а в газах — нагрев вследствие сжатия газа перед препятствием, которое представляет собой⁵ зонд.

Влияние свойств среды и скорости течения. Тепловое со­противление Rexe между текущей средой и корпусом зонда за­висит от свойств среды и скорости потока. В общем случае-коэффициент теплообмена h между потоком и находящейся в нем цилиндрической поверхностью (диаметром d, длиной / при; скорости потока V, направленной перпендикулярно оси ци­линдра) выражается формулой

Л^-ЯМиЛ/, Вт/(см²-К),

где Л — коэффициент теплопроводности среды, a Nu — число-Нуссельта потока,

Nu = 0,43 + ^Re^aPr°'³¹,

где Re = p(Vd/|j.)—число Рейнольдса и Рг = с_р|дД — число Прандтля; р, ц, с_р — параметры среды: плотность, коэффи­циент вязкости и теплоемкость единицы массы при постоянном:

давлении, соответственно. Величины А к а являются коэффи­циентами, зависящими от Re (табл. 6.4).

Тепловое" сопротивление Rexc между внешней поверхностью цилиндра диаметром d и средой равно

R_9xe = l/ndlh,

^Rexe== п/Ши " ⁼яа(0,43 + ЛКе"Рг⁰'³¹) '

Для описанного выше зонда определяющим тепловым пото­ком, очевидно, является тепловой поток между датчиком и ис­следуемой средой. Тепловое сопротивление для этого теплово­го потока равно

r&xc = Rfixe + Reec >

где Reec — тепловое сопротивление между датчиком и внешней поверхностью корпуса, которое остается постоянным для дан­ного зонда. Для примера в табл. 6.5 представлены величины тепловых сопротивлений и времени запаздывания нескольких зондов (выпускаемых фирмой Rosemount) с платиновыми тер­мометрами в различных средах и при различных скоростях потока. Изменения теплового сопротивления для рассматри-пасмого д.тгчика обусловлены, в основном, изменениями чле­на Л'(ют-Установка зонда в трубопроводе. Поскольку температура стенок трубопровода отличается от температуры потока, в по­перечном направлении устанавливается градиент температу­ры. В частности, температура в центре трубопровода отлича­ется от средней температуры. Если распределение температу­ры в поперечном направлении можно рассчитать, то можно оп­ределить и положение точки, в которой температура равна средней; можно разместить зонд в этой точке или установить несколько зондов таким образом, чтобы среднее значение тем-лератур, измеренных этими зондами, было равно средней тем-

пературе. Если распределение температур неизвестно, то обыч­но датчик размещается на середине расстояния от стенки до центра трубопровода, т. е. на одной четверти диаметра.

Влияние излучения стенок. Если температура стенок трубо­провода или сосуда, в который заключена среда, отличается от температуры среды, то вследствие теплообмена излучением между ними и зондом температуры последнего может суще­ственно измениться. Это особенно важно для измерений в га­зе, поскольку жидкости обычно это излучение поглощают и оно не доходит до зонда. Что касается теплообмена излучением между зондом и газом, то радиационные тепловые потоки обычно пренебрежимо малы по сравнению с конвективными и потоками, обусловленными теплопроводностью, за исключени­ем случаев, когда температура газа очень высока, или в пла­менах, содержащих раскаленные твердые частицы.

Рассмотрим датчик, установленный в корпусе, температура которого равна Т_е. Температура датчика Т_с выражается через температуру корпуса с помощью полученного выше соотно­шения

Т R&arT_e + RftecTa * с — ~~ •

Квас + Квес

Температура Т_с корпуса определяется теплообменом

-с внешней средой: Т_а—T_f=R_Sa,,P_ae,

— с потоком: Т_х—Т_е=К_ехеР_хе,

-со стопками: Т_р—Т_е=К_вреРр_е,

где Raj,,. — тепловое сопротивление для потока излучения от стенок к корпусу, Р_ре — радиационный тепловой поток между ними, а остальные члены определены выше. В состоянии рав­новесия

Р_ае+Р_хе + Р„е = 0.

Отсюда

Т __ OoBgTjt -f- GaafTg + GepgTn

l ft — ,

(JQxe ~\~ (JQae + ^Upe

где величины G₀ представляют тепловые проводимости, обрат­ные соответствующим тепловым сопротивлениям. Разность температур газа Т_х и корпуса Т_е равна

/т.' /т. Geag (Тх — Т а) + Gppe (Тх — Тр)

I х * е - . ,, . _

ивхе + VQae + (JQpe

Условия обеспечения минимального значения G_eae были рас­смотрены выше. Тепловая проводимость G_epe определяется с .яомощью закона излучения черного тела. Обозначим через е

коэффициент излучения корпуса (O^e^l), через Л — пло­щадь его боковой поверхности и через о — постоянную Больц-мапа (0 = 5,709-10"⁸ Вт/(м²-К.⁴)) - Тогда выражение для ра­диационного теплового потока запишется в виде

Р_ре = еЛсг(:г⁴_р —Т⁴_е),

где Тр и Т_е выражены в кельвинах,

ИЛИ Pp9~G«fe(Tp—T_t),

где С_Пре = 8Ла(Т*р-~Т⁴_е)/(Т_р-7'_е).

В диапазоне значений 0,5 Т_р<Т_е<2Т_р предыдущее выра­жение для тепловой проводимости по отношению к радиаци­онному потоку можно представить в более простом виде с по­грешностью, не превышающей 10%:

0_9ре^4еЛаГ³_т, где Т_т = (Т_р + Т_е)/2.

Чтобы уменьшить влияние стенок на температурный зонд необходимо уменьшить коэффициент излучения корпуса е, т. е. сделать корпус отражающим, и уменьшить отличие тем­пературы газа Т_х от температуры Т_р стенок, находящихся «в поле зрения» зонда, что достигается посредством защиты зонда цилиндрическим экраном (рис. 6.3, а), температура ко­торого Тр будет меньше отличаться от Т_х, чем температура стенок канала или основной трубы. Можно применить несколь­ко защитных экранов, чтобы еще более уменьшить отличие температуры самого близкого к датчику экрана от температу­ры газа (рис. 6.3, б).

Чтобы составить представление о порядках величин, pact смотрим поток газа с температурой 900 °С в трубе с темпера!-

турой внутренней етенки 600 °С. Расчет разности температур' газа и датчика дает следующие значения: 70 °С — без экра­на, 50 °С — с одним экраном, 40 °С — с двумя экранами,. 20 °С — с тремя экранами, 8°С — с четырьмя экранами и, 4 °С— с пятью экранами. Однако установка экранов приводит к увеличению времени запаздывания зонда.

Влияние скорости течения. Течение жидкостей. Трение жид­кости о поверхность корпуса зонда может вызывать нагрев, которым нельзя пренебречь. Этот нагрев зависит от формы » положения корпуса (нагрей максимален, когда корпус распо­ложен поперек потока жидкости), а также от свойств жидкос­ти н скорости течения V (нагрев пропорционален Рг"У², где Рг — число Прандтля, зависящее от вязкости жидкости, а по­казатель п определяется характером течения).

Так, например, при скорости V=30 м/с зонд, установлен­ный поперек потока жидкости, нагревается на 0,2 °С в случае-жидкости с малой вязкостью (вода, Рг = 7,5) и на 20 °С в слу­чае жидкости с большой вязкостью (масло, Рг=10⁴). Обычно, если вязкость жидкости не очень велика, этим нагревом мож­но пренебречь при У<3 м/с.

Кроме того, следует отметить, что на корпус, установлен­ный б потоке, воздействуют механические нагрузки. В случае турбулентного течения пульсации скорости могут приводить к усталостному разрушению корпуса; кроме того, причиной раз­рушения корпуса может стать явление механического резо-члнса. В этом случае следует предусматривать крепления по­вышенной прочности.

Течение газа. Температура движущего газа может быть из­мерена стационарным датчиком. Эта температура называется статической температурой (Т_ст). Поскольку датчик неподви­жен, адиабатическое сжатие газа у его поверхности приводит к дополнительному нагреву. Обозначим через Г_т температуру торможения-—температуру слоя заторможенного газа у по-m'pxirorni корпуса датчика. Эти температуры епязппы соот-ьошепием

(Г_Т-Г_СТ)/Т_СТ = 0,5(7-1) М*,

где Т_т н Тст выражены в Кельвинах, j = c_p/c_v, c_p и c_v — коэф­фициенты теплоемкости газа при постоянном давлении и объ­еме, соответственно, M=V/c — число Маха, равное отношению' скорости потока V к скорости звука с в том же потоке.

Температура корпуса Т_с меньше температуры торможения обтекающего его газа Т_т. Введем коэффициент восстановления.' температуры г:

^г — (' е— ' ст)/ (•• т ^ ст)>

пеличнпа которого характеризует нагрей корпуса относительно газа; г=1 при Т_е = Т_т и r = Q при 7_е=Г_ст.

Коэффициент восстановления температуры зависит от фор­мы корпуса и направления относительно него скорости пото­ка V. В случае цилиндрического корпуса, ось которого распо­ложена перпендикулярно направлению скорости, г = 0,65±0,10. Если ось корпуса параллельна направлению скорости, то г— = 0,90±0,05. Неопределенность значения т тем меньше, чем ближе значение г к 1. Если известно значение т, то стати­ческая температура определяется по температуре корпуса с помощью предыдущих соотношений по формуле

Т_ст = Г_е/[1+0,5л(₇-1)М²].

Для воздуха (7=1,4) при значениях М = 0,5 и г = 0,65±0,10 по­лучаем

(Т.-Т_СТ)/Г_СТ = (3,2±0,5)10.-*.

Отсюда при Г_е = 300 К находим Т_е— Г_ст= (9,3±1,4) К. При М<0,1 и Г_с = 300 К имеем 7V-Г_сг<0,4 К.

При больших скоростях потока неопределенность значения г может привести к недопустимо большой погрешности опреде­ления Г_ст. В таких случаях используют зонды со значениями г, мало отличающимися от 1 и известными с высокой точностью. Тогда T,.&Tf, п подобные температурные датчики называются зондами температуры торможения (рис. 6.4).