2.5 Расчет переходного процесса в цепи с источником синусоидального напряжения (колебательный режим)
Условие задачи: определить ток i1 после замыкания ключа в схеме рисунка 2.
Исходные
параметры:
В;
Гц;
Ом;
Ом;
Гн;
мкФ.
1. Установившийся режим до коммутации (см. рисунок 9).
Комплексная амплитуда тока
;
.
А.
Мгновенное значение тока i1
Комплексная амплитуда напряжения на емкости
Мгновенное значение напряжения на емкости
В
момент коммутации (при
)
А;
В.
2. Дифференциальные уравнения для схемы рисунка 4:
3. Принужденную составляющую (ток нового установившегося режима) найдем, рассматривая схему рисунка 10.
Комплексная амплитуда тока
.
Мгновенное значение тока
А.
4. Свободная составляющая тока i1.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
Поэтому свободная составляющая имеет вид:
5. Определение постоянных:
.
Для
нахождения постоянных предварительно
из системы (141), записанной для
,
с учетом
и
.
А/с.
Постоянные А1 и А2 найдем из системы уравнений:
где
После подстановки известных величин в (23) получаем:
Откуда
;
.
В итоге ток
А.
Построенная
в соответствии с расчетом зависимость
приведена на рисунке 12.
Рисунок
12 – График
зависимости
3. Операторный метод расчета переходных процессов
Решение дифференциальных уравнений при расчете переходных процессов классическим методом связано с определенными трудностями, которые возрастают по мере увеличения числа реактивных элементов в электрической цепи. К таким трудностям в первую очередь относится определение постоянных интегрирования, поэтому широкое распространение нашел метод решения дифференциальных уравнений, в основу которого положено двустороннее преобразование Лапласа. Этот метод получил название «операторный».
Идея этого метода заключается в том, что из области функций действительного переменного решение переноситься в область функций комплексного переменного, где операции принимают боле простой вид, а именно вместо исходных дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения. Затем полученный решением алгебраических уравнений результат «интерпретируется», т.е. производится обратный переход в область функций действительного переменного. Это переход осуществляется с помощью формул и таблиц.
Пусть f(t) - функция действительного переменного t, которую называют оригиналом действительной переменной t заменяется соответствующей ей функцией F(p) комплексного переменного р, которую называют изображением заданной функции f(t).
Соответствие между оригиналом и его изображением записывается в виде
.
В качестве функциональных преобразований при переходе от оригинала к его изображению используют прямое преобразование Лапласа
,
(34)
где р - комплексный параметр преобразования Лапласа, имеющий размерность частоты (1/с).
Однако обычно прямое преобразование Лапласа записывают в виде
,
(35)
где L - указатель преобразования Лапласа.
Например,
для постоянного напряжения
применение (34) дает:
(36)
следовательно,
в соответствии с выражением (35)
или
.
Аналогично находится изображение синусоидальной функции:
(37)
и ряда других функций.
В литературе приводятся таблицы соответствия изображений и оригиналов, которыми можно пользоваться при расчете переходных процессов.
Преобразование дифференциальных уравнений требует использования изображений производных и интегралов. Последние также находятся на основе (145) применением способа интегрирования по частям:
(38)
(39)
Под
подразумевается функция в начальный
момент времени.
В дифференциальных уравнениях электрических цепей на основе выражения (38) записываются напряжение на индуктивности
(40)
и ток в емкости
(41)
где
и
соответственно изображения тока в
индуктивности и напряжения на емкости.
Соответствие (39) позволяет записать изображение напряжения на емкости:
(42)
Преобразование Лапласа является линейным, поэтому оно обладает следующими свойствами.
1. Сумме оригиналов соответствует сумма изображений:
(43)
2. Произведению оригинала на постоянный множитель соответствует умножение изображения на тот же множитель:
(44)
Перечисленных особенностей достаточно для преобразования дифференциальных уравнений электрических цепей и получения изображений представляющих интерес физических величин.
Анализ переходных процессов операторным методом производят в следующей последовательности:
1. Представляют исходную схему замещения электрической цепи в операторной форме, на которой указаны условно-положительные направления токов и напряжений (таблица 1).
При
ненулевых начальных условиях появляются
внутренние источники ЭДС:
и
,
которые должны быть учтены при переходе
к схеме замещения в операторной форме.
При этом направление ЭДС источника
совпадает с условно-положительным
направлением тока, а направление ЭДС
источника
противоположно ему.
Таблица 1 - Обозначения элементов схемы замещения электрической цепи
|
Исходная форма |
Операторная форма, нулевые начальные условия |
Операторная форма, ненулевые начальные условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Рассчитывают переходный ток (напряжение) в операторной форме, применяя любой метод, рассмотренный для постоянного тока. При этом изображение может быть представлено в общем виде:
.
(45)
Эта формула справедлива в случае, когда степень числителя меньше степени знаменателя, а корни полинома F2(p) различны и не равны корням полинома F1(p).
3. По найденному изображению переходного тока (напряжения) определяют оригинал из формулы разложения:
,
(46)
k – номер корня характеристического уравнения;
n – число корней;
- первая производная
от
.
Число слагаемых
равно числу корней характеристического
уравнения
.
В случае кратных корней формула разложения имеет более сложную структуру:
.
(47)
где pm - значение корня знаменателя изображения (уравнения F1(p)=0 );
m - количество кратных корней, или кратность корня pm .