2.3 Граничный режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы рисунок 2, а также напряжение на емкости после замыкания ключа.

Исходные параметры: Ом; Ом; Гн; мкФ; В. Установившийся режим до коммутации (см. рисунок 3):

;

А;

В.

При А; В.

2. Дифференциальные уравнения:

(23)

3. Принужденные составляющие (см. рисунок 5):

А; В.

4. Характеристическое уравнение при значениях параметров элементов рассматриваемого примера:

корни его

,

следовательно, имеет место граничный переходный режим.

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для неизвестных:

;

; (24)

;

.

Для нахождения постоянных А₁ – А₈ требуется предварительно вычислить значения неизвестных и их производных при . Для этого необходимо обратиться к системе (23) и записать ее для . Подставляя в (23) численные значения параметров элементов с учетом равенств В; А.

получаем: В/с; А/с.

Затем выражения для тока в индуктивности и напряжения на емкости и их производные записываются для момента времени :

(25)

(26)

После подстановки левых частей в (25), (26) получаем:

откуда ; ; ; .

В итоге:

А; В.

После преобразования системы (23) получаем:

А.

Построенная в соответствии с расчетом зависимость приведена на рисунке 8.

Рисунок 8 – График зависимости

2.4 Расчет переходного процесса в цепи с источником синусоидального напряжения (апериодический режим)

Условие задачи: определить ток i₁ после замыкания ключа в схеме рисунка 2.

Исходные параметры: В; Гц; Ом; Ом; Гн; мкФ.

1. Установившийся режим до коммутации.

Имеет место установившийся режим синусоидальных токов. Расчет проводим комплексным методом. Входное сопротивление цепи (рисунок 9)

Рисунок 9 – Исходная схема с источником синусоидального напряжения

;

Комплексная амплитуда тока

(27)

Мгновенное значение тока i₁

(28)

Комплексная амплитуда напряжения на емкости

В. (29)

Мгновенное значение напряжения на емкости

В. (30)

В момент коммутации (при )

А;

В.

1. Дифференциальные уравнения для схемы рисунка 4:

(31)

2. Принужденную составляющую (ток нового установившегося режима) найдем, рассматривая схему рисунка 10.

Рисунок 10 – Схема для определения принужденной составляющей

Комплексная амплитуда тока

.

Мгновенное значение тока

4. Свободная составляющая тока i₁.

Характеристическое уравнение имеет корни ; .

поэтому свободная составляющая имеет вид:

. (32)

5. Определение постоянных интегрирования:

.

Для нахождения постоянных необходимо предварительно вычислить начальные значения и . Из системы (31), записанной для , с учетом

и .

А/с.

Постоянные А₁ и А₂ найдем из системы уравнений:

(33)

Где

;

После подстановки известных величин в (33) получим:

откуда

А₁ = 1,82; А₂ = – 0,053.

В итоге ток

А.

Построенная в соответствии с расчетом зависимость приведена на рисунке 11.

Рисунок 11 – График зависимости